Coefficient RV

Supposons que le couples de variables aléatoires vectorielles ${\textstyle (X,Y)\in \mathbb {R} ^{p\times q}}$ admette une matrice de variance covariance

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Sigma _{X}&\Sigma _{XY}\\\Sigma _{XY}^{\top }&\Sigma _{Y}\end{pmatrix}}.}$$

La définition du coefficient RV fait intervenir idées[5] permettant de définir des grandeurs scalaires qui sont appelées «variance» et «covariance» de variables aléatoires à valeurs vectorielles. En utilisant ces définitions, le coefficient RV est alors défini de manière analogue au coefficient de corrélation entre variables univariées.

Quand les vecteurs aléatoires (vecteurs colonnes) sont centrés, on peut écrire

${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {E} (XY^{\top })}$

et la covariance scalaire (notée COVV) est définie par [5]

${\displaystyle \operatorname {COVV} (X,Y)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})\,.}$

La variance scalaire est définie de manière correspondante

${\displaystyle \operatorname {VAV} (X)=\operatorname {Tr} (\Sigma _{XX}^{2})\,.}$

Avec ces définitions, la variance et la covariance ont certaines propriétés additives par rapport à la formation de nouvelles quantités vectorielles en étendant un vecteur existant avec les éléments d'un autre[5].

Alors le coefficient RV est défini par [5]

${\displaystyle \mathrm {RV} (X,Y)={\frac {\operatorname {COVV} (X,Y)}{\sqrt {\operatorname {VAV} (X)\operatorname {VAV} (Y)}}}\,.}$

Par construction, le coefficient prend des valeurs comprises entre 0 et 1. Cependant, il atteint rarement des valeurs proches de 1 car le dénominateur est trop grand par rapport aux valeurs possibles du numérateur[6].

Étant donné deux matrices ${\displaystyle \Sigma _{XX}}$ and ${\displaystyle \Sigma _{YY}}$ de dimensions ${\displaystyle p\times p}$ et ${\displaystyle q\times q}$ respectively, en supposant sans perte de généralité que ${\displaystyle p\leq q}$, on peut démontrer[7] que la valeur maximale possible du numérateur est ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y}),}$ où ${\displaystyle \Lambda _{X}}$ (resp. ${\displaystyle \Lambda _{Y}}$) est la matrice des valeurs propres de ${\displaystyle \Sigma _{XX}}$(resp. ${\displaystyle \Sigma _{YY}}$) ordonnées de manière décroissante en partant du coin supérieur gauche et où ${\displaystyle \Pi }$ est la matrice de taille ${\displaystyle p\times q}$ égale à ${\displaystyle (I_{p}\ 0_{p\times (q-p)})}$.

À la suite de cela, Mordant et Segers[7] ont proposé une version ajustée du coefficient RV où le dénominateur prend la plus grande valeur atteignable du numérateur. Cette version ajustée est alors

${\displaystyle {\bar {\operatorname {RV} }}(X,Y)={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\operatorname {Tr} (\Lambda _{X}\Pi \Lambda _{Y})}}={\frac {\operatorname {Tr} (\Sigma _{XY}\Sigma _{YX})}{\sum _{j=1}^{min(p,q)}(\Lambda _{X})_{j,j}(\Lambda _{Y})_{j,j}}}.}$

L'intérêt de cet ajustement est clairement visible dans certains cas en pratique[7].

• Coefficient de congruence
• Corrélation de distance