Analyse canonique des corrélations

Analyse Canonique des Correlations : matrices des corrélations sur les données nutrimouse du package CCA de R d'après l'article d'Ignacio et al. dans « Journal of Statistical Software (volume 23, issue 12, January 2008) »[i 2]

Soient deux vecteurs colonnes X et Y de dimensions respectives n et m : ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\mathrm {T} }}$et ${\displaystyle Y=(y_{1},\dots ,y_{m})^{\mathrm {T} }}$de variables aléatoires ayant un moment d'ordre deux fini. On peut définir la covariance croisée ${\displaystyle \Sigma _{XY}=\operatorname {cov} (X,Y)}$ comme la matrice de taille n × m dont l'élément (i,j) est la covariance de x_i et y_j. En pratique, cette covariance est souvent estimée à partir d'un échantillon de X et Y, c'est-à-dire d'après deux matrices dont chaque colonne est une réalisation de X et Y.

L'analyse canonique des corrélations recherche deux vecteurs a et b de dimensions respectives n et m qui maximisent la corrélation entre les produits scalaires (a·X) et (b·Y). En d'autres termes :

${\displaystyle (a^{*},b^{*})={\underset {(a,b)}{\operatorname {argmax} }}\operatorname {corr} (a^{\mathrm {T} }X,b^{\mathrm {T} }Y)}$

Les variables aléatoires U = a·X et V = b·Y sont la première paire de variables canoniques. On peut alors répéter la procédure pour obtenir une seconde paire de variables non corrélée à la première.

Analyse Canonique des Correlations : représentation des variables et des individus dans le plan des deux premières variables canoniques sur les données nutrimouse du package CCA de R d'après l'article d'Ignacio et al. dans « Journal of Statistical Software (volume 23, issue 12, January 2008) »[i 2]