Code de Reed-Muller

On choisit un ordre quelconque sur les éléments de ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{m}=\{z_{0},...,z_{2^{m}-1}\}}$. Une fonction booléenne ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle m}$ variables est alors identifiée au mot binaire défini par

${\displaystyle c_{f}=\left(f(z_{0}),...,f(z_{2^{m}-1})\right)}$

En d'autres termes, ${\displaystyle c_{f}}$ est la liste des valeurs prises par ${\displaystyle f}$ dans un ordre quelconque mais fixe. On peut alors définir

${\displaystyle \mathrm {RM} (r,m)=\{c_{f}:d(f)\leq r\}}$

où ${\displaystyle d(f)}$ est le degré de l'ANF de ${\displaystyle f}$.

Dans l'exemple donné en introduction, le code Reed-Muller d'ordre 1 en 5 variables, ${\displaystyle m}$ vaut donc ${\displaystyle 5}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{5}=\{z_{0}=(0,0,0,0,0),...,z_{31}=(1,1,1,1,1)\}}$.

Les fonctions booléennes en 5 variables sont identifiées chacune à un mot binaire de longueur 32

${\displaystyle c_{f}=\left(f(z_{0}),...,f(z_{31})\right)}$

L'ensemble des mots du code est

${\displaystyle \mathrm {RM} (1,5)=\{c_{f}:\exists a\in \mathbb {F} ^{6}|f((X_{0},...,X_{4}))=a_{0}X_{0}+a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+a_{3}X_{3}+a_{4}X_{4}+a_{5}\}}$

Ainsi le code est l'ensemble des tables de vérité des fonctions booléennes affines en 5 variables, la table de vérité de ${\displaystyle f}$ étant simplement le vecteur ${\displaystyle c_{f}}$.

On décrit comment construire une matrice génératrice d'un code de longueur ${\displaystyle n=2^{m}}$. Posons :

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{m}=\{z_{0},\ldots ,z_{2^{m}-1}\}}$

Dans l'espace ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$ on définit, pour toute partie ${\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{2}^{m}}$, les vecteurs ${\displaystyle \mathbb {I} _{A}\in \mathbb {F} _{2}^{n}}$ par

${\displaystyle \left(\mathbb {I} _{A}\right)_{i}={\begin{cases}1&{\mbox{ si }}z_{i}\in A\\0&{\mbox{ sinon}}\\\end{cases}}}$

On définit également dans ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$ l'opération binaire :

${\displaystyle w\wedge y=(w_{1}\cdot y_{1},\ldots ,w_{n}\cdot y_{n})}$

appelé produit extérieur.

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{m}}$ est un espace vectoriel à ${\displaystyle m}$ dimensions sur le corps ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$, donc on écrit

${\displaystyle (\mathbb {F} _{2})^{m}=\{(x_{0},\ldots ,x_{m-1})|x_{i}\in \mathbb {F} _{2}\}}$

Dans l'espace ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{n}}$, on définit les vecteurs de longueur ${\displaystyle n}$ suivants : ${\displaystyle v_{0}=(1,1,1,1,1,1,1,1)}$ et

${\displaystyle v_{i}=\mathbb {I} _{H_{i}}}$

où ${\displaystyle H_{i}}$ sont des hyperplans dans ${\displaystyle (\mathbb {F} _{2})^{m}}$ (de dimension ${\displaystyle n=2^{m}-1}$) :

${\displaystyle H_{i}=\{x\in (\mathbb {F} _{2})^{m}\mid x_{i}=0\}}$

Le code de Reed-Muller ${\displaystyle (r,m)}$ d'ordre ${\displaystyle r}$ et longueur ${\displaystyle n=2^{m}}$ est le code généré par ${\displaystyle v_{0}}$ et le produit extérieur d'au plus ${\displaystyle r}$ des ${\displaystyle v_{i}}$ (par convention, s'il y a moins d'un vecteur, le produit extérieur est appliqué comme l'identité).

En fait, derrière cette construction se cache est celle donnée par les fonctions booléennes. En effet, si ${\displaystyle f}$ est une fonction booléenne en ${\displaystyle m}$ variables, on a

${\displaystyle \mathbb {I} _{A_{f}}=c_{f}}$ en posant ${\displaystyle A_{f}=\{z\in \mathbb {F} _{2}^{m}:f(z)=1\}}$

où ${\displaystyle c_{f}}$ est le vecteur défini à la section Code binaire. Il est alors facile de vérifier que

${\displaystyle \mathbb {I} _{A_{f}}\wedge \mathbb {I} _{A_{g}}=\mathbb {I} _{A_{f\cdot g}}=c_{f\cdot g}}$

Pour terminer, il suffit de remarquer que ${\displaystyle H_{i}=A_{e_{i}+1}}$, où ${\displaystyle e_{i}}$ est la ième forme coordonnée, i.e :

${\displaystyle e_{i}(x_{0},...,x_{m-1})=x_{i}}$

Le vecteur ${\displaystyle v_{i}}$ est donc égal à ${\displaystyle c_{e_{i}+1}}$. La famille des produits extérieurs d'au plus ${\displaystyle r}$ vecteurs ${\displaystyle v_{i}}$, est donc constituée des vecteurs de la forme

${\displaystyle v_{i_{0}}\wedge ...\wedge v_{i_{l}}=c_{(e_{i_{0}}+1)...(e_{i_{l}}+1)}}$ avec ${\displaystyle l\leq r}$.

Bien entendu, les ${\displaystyle {(e_{i_{0}}+1)...(e_{i_{l}}+1)}}$ sont des fonctions booléennes en ${\displaystyle m}$ variables dont le degré est exactement ${\displaystyle l}$ et pour tous les ${\displaystyle (i_{0},...,i_{l})}$, ${\displaystyle l\leq r}$, elles forment une famille génératrice des fonctions de degré au plus ${\displaystyle r}$.

On peut montrer que lorsque ${\displaystyle H=A_{f}}$ est un hyperplan, la fonction ${\displaystyle f}$ est affine. Il est donc suffisant de considérer des hyperplans engendrés par des fonctions linéairement indépendantes pour obtenir de la sorte les codes de Reed-Muller.

L'ensemble des fonctions booléennes de degré au plus ${\displaystyle r}$ est un espace vectoriel, ce code est donc linéaire. Par définition, sa longueur est ${\displaystyle 2^{m}}$. La famille des monômes de degré au plus ${\displaystyle r}$ étant une base de cet espace, et ayant

${\displaystyle k={m \choose 0}+{m \choose 1}+...+{m \choose r}}$

éléments, sa dimension est ${\displaystyle k}$.

Le poids minimal du code ${\displaystyle \mathrm {RM} (r,m)}$ est obtenu, entre autres, par les monômes de degré ${\displaystyle r}$ et vaut ${\displaystyle 2^{m-r}}$.