Chaîne de Pappus

Les centres des cercles de la chaîne de Pappus sont situés sur une ellipse de grand axe ${\displaystyle r+R}$, et de petit axe ${\displaystyle R-r}$. En effet, la somme des distances du cercle d'indice n de la chaîne de Pappus aux deux centres ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$ des cercles de l'arbelos est constante :

${\displaystyle P_{n}U+P_{n}V=\left(r+r_{n}\right)+\left(R-r_{n}\right)=r+R}$

Les foyers de cette ellipse sont donc ${\displaystyle U}$ et ${\displaystyle V}$, centres des deux cercles de l'arbelos.

Notons ${\displaystyle k_{n}=1/r_{n}}$ la courbure du cercle d'indice ${\displaystyle n}$ de la chaîne.

On a la relation de récurrence double ${\displaystyle k_{n}-2k_{n-1}+k_{n-2}={\frac {2(R-r)}{rR}}}$[2],

laquelle permet d'obtenir :

${\displaystyle r_{n}={\frac {(R-r)rR}{(R-r)^{2}n^{2}+rR}}={\frac {(k-1)AB}{2((k-1)^{2}n^{2}+k)}}}$ où ${\displaystyle k=AB/AC=R/r}$.

Chaine de Pappus avec indication des courbures

On peut remarquer que si ${\displaystyle k}$ est entier et ${\displaystyle AB=2/(k-1)}$, toutes les courbures ${\displaystyle 1/r_{n}=(k-1)^{2}n^{2}+k}$ sont entières. Par exemple, pour ${\displaystyle k=2}$, ${\displaystyle 1/r_{n}=n^{2}+2}$, voir la suite suite A059100 de l'OEIS.

Dans un repère orthonormé d'origine ${\displaystyle A}$ et de premier axe ${\displaystyle (AB)}$, le centre du cercle d'indice n de la chaîne a pour coordonnées :

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {(k+1)AB}{2((k-1)^{2}n^{2}+k)}}~,~{\frac {n(k-1)AB}{(k-1)^{2}n^{2}+k}}\right)}$

Sous une inversion particulière centrée en ${\displaystyle A}$, les quatre cercles initiaux de la chaîne de Pappus se transforment en un empilement de quatre cercles de même taille, pris en sandwich entre deux droites parallèles. Cela explique la formule de hauteur ${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$ et le fait que les points de contact sont cocycliques.

La hauteur ${\displaystyle h_{n}}$ du centre du cercle d'indice n au-dessus de la base ${\displaystyle ACB}$ est égale à n fois le diamètre ${\displaystyle d_{n}}$ (théorème connu de Pappus)[1], comme on le voit sur les formules précédentes[3] - [4].

Ceci peut être montré en utilisant l'image par une inversion d'un cercle centré au point de contact ${\displaystyle A}$. Le cercle d'inversion est choisi de sorte à couper perpendiculairement le cercle d'indice n : ce cercle se transforme ainsi en lui-même. Les deux cercles ${\displaystyle C_{U}}$ et ${\displaystyle C_{V}}$ de l'arbelos sont transformés en deux droites parallèles prenant en sandwich le cercle d'indice n ; par conséquent, les autres cercles de la chaîne de Pappus sont transformés en des cercles pris en sandwich par les mêmes droites. Le cercle initial ${\displaystyle C_{0}}$ et le cercle final ${\displaystyle C_{n}}$ contribuent chacun pour ${\displaystyle {\frac {1}{2}}d_{n}}$ à la hauteur ${\displaystyle h_{n}}$, tandis que les cercles de ${\displaystyle C_{1}}$ à ${\displaystyle C_{n-1}}$ contribuent chacun pour ${\displaystyle d_{n}}$. L'addition de ces contributions donne la relation ${\displaystyle h_{n}=nd_{n}}$ .

La même inversion peut être utilisée pour montrer que les points de contact mutuels de la chaîne de Pappus sont situés sur un cercle. Comme indiqué ci-dessus, l'inversion centrée au point ${\displaystyle A}$ transforme les cercles de l'arbelos ${\displaystyle C_{U}}$ et ${\displaystyle C_{V}}$ en deux droites parallèles, et les cercles de la chaîne Pappus en une pile de cercles de mêeme taille égale pris en sandwich entre les deux droites parallèles. Par conséquent, les points de contact entre les cercles transformés se situent sur une droite à mi-chemin entre les deux parallèles. Et ré-effectuant l'inversion, cette droite de points de contact se transforme en un cercle.

Planche tirée du livre de Jacques Ozanam. Énoncé du problème : étant donné, sur une même ligne droite, deux demi-cercles qui se touchent en dedans, décrire un cercle qui touche la ligne droite et les circonférences des deux demi-cercles donnés.