Théorème de Descartes (géométrie)

Les problèmes géométriques concernant des cercles tangents sont très anciens. En Grèce antique, trois siècles avant Jésus-Christ, Apollonius de Perga a consacré un livre entier à ce sujet ; malheureusement ce livre, Les Contacts, a disparu. La construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés (le plus difficile des problèmes qui figurait dans ce livre) est souvent appelé Problème d'Apollonius. Regiomontanus en a donné une solution algébrique au XV^e siècle mais ne croyait pas possible l'existence d'une solution géométrique, François Viète en a proposé la restauration à Adrien Romain, qui en a donné une solution bâtie sur des intersections d'hyperboles. Cette joute est l'occasion pour Viète de montrer la supériorité de son algèbre nouvelle par la publication de Apollonius Gallus[1]. La grande finesse de Viète s'y montre à plein et Michel Chasles découvrira dans cet ouvrage les prémices de l'inversion plane.

René Descartes parle brièvement du problème en 1643, dans une lettre adressée à la princesse Élisabeth de Bohême[2]. Il a fourni essentiellement la même solution que celle donnée dans la formule ci-dessous, c'est pourquoi son nom a été donné au théorème. Émile Lemoine donne une solution géométrique du problème, minimale dans son système de mesure des constructions. Frederick Soddy a redécouvert la formule en 1936, d'où le nom de formule de Soddy-Descartes donné parfois à cette formule[3] .Les cercles solutions de l'équation sont appelés cercles de Soddy. Ils sont parfois connus sous le nom de kissing circles, peut-être parce que Soddy a choisi d'éditer sa version du théorème sous forme de poésie intitulée The Kiss precise, qui a été imprimé dans Nature le 20 juin 1936. Soddy a également étendu le théorème aux sphères. Une solution géométrique est détaillée ici [4] .

Le théorème de Descartes s'énonce simplement en utilisant la courbure des cercles. La courbure d'un cercle est définie par ${\displaystyle k=\pm 1/r}$ , où r est son rayon. Plus le cercle est grand, plus sa courbure est petite, et vice versa.

Le signe plus dans ${\displaystyle k=\pm 1/r}$ s'utilise pour un cercle qui est tangent extérieurement aux autres cercles, comme les trois cercles noirs dans la figure ci-dessus. Dans le cas d'un cercle tangent intérieurement, comme le grand cercle rouge dans la figure, on utilise le signe moins.

Si quatre cercles tangents entre eux ont pour courbure ${\displaystyle k_{i}}$ (pour i = 1…4), le théorème de Descartes énonce [3]:

${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}).}$

L'équation (1), vue comme une équation du second degré en ${\displaystyle k_{4}}$, permet d’obtenir la courbure des cercles tangents à trois cercles donnés tangents deux à deux :

${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{1}}}.}$

Le signe ± indique qu'il existe deux cercles solutions : ce sont les cercles de Soddy ; les deux courbures de ces cercles sont reliés par ${\displaystyle k_{4}+k'_{4}=2(k_{1}+k_{2}+k_{3})}$ ; on en déduit que si quatre de ces cinq courbures sont entières, la cinquième l'est aussi.

Un des cercles est remplacé par une droite (courbure nulle) : le théorème de Descartes s'applique toujours. Les nombres indiqués sont les courbures des cercles .

Célèbre sangaku de la préfecture de Gumma de 1824. La relation demandée est justement ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {R_{3}}}}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}}}}+{\frac {1}{\sqrt {R_{2}}}}}$, ce qui est la relation de Descartes [5].

Si l'un des trois cercles est remplacé par une droite, la courbure ${\displaystyle k_{3}}$ (par exemple) est nulle[6]. Ainsi l'équation (2), nous donne :

${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}$ ce qui s'écrit aussi : ${\displaystyle {\sqrt {k}}_{4}=|{\sqrt {k}}_{1}\pm {\sqrt {k}}_{2}|}$.

Le théorème de Descartes ne s'applique pas lorsque plus d'un cercle est remplacé par une droite.

Le théorème ne s'applique pas non plus lorsque plus d'un cercle est tangent intérieurement, par exemple dans le cas de trois cercles imbriqués tangents en un point.

Afin de définir un cercle complètement, non seulement son rayon (ou sa courbure), mais aussi son centre doivent être connus. L'équation appropriée est plus claire si les coordonnées (x, y) sont interprétées comme un nombre complexe ${\displaystyle z=x+iy.}$ L'équation est alors similaire au théorème de Descartes et s'appelle le théorème complexe de Descartes.

Soient quatre cercles de courbure ${\displaystyle k_{i}}$ et de centre ${\displaystyle z_{i}}$ (pour i = 1…4), l'égalité suivante se tire de l'équation (1):

${\displaystyle (4)}$

${\displaystyle (k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4}^{2}z_{4}^{2}).}$

Une fois ${\displaystyle k_{4}}$ trouvée via l'équation (2), on peut calculer ${\displaystyle z_{4}}$ en réécrivant l'équation (4) sous une forme semblable à l'équation (2). Encore une fois, il y aura en général deux solutions pour ${\displaystyle z_{4}}$, correspondant aux deux solutions pour ${\displaystyle k_{4}}$.