Chaîne de Steiner

Lorsque les deux cercles de départ se touchent, on obtient une chaîne de Pappus. Les hexlets de Soddy[12] sont des chaînes de Steiner de six éléments en trois dimensions : les cercles sont remplacés par des boules. Les centres des six boules (qui forment le « sextuple ») sont dans un même plan et sont situés sur la même ellipse que les centres des cercles de la chaîne de Steiner correspondante. L'enveloppe des boules est une cyclide de Dupin (en), image par inversion d'un tore. En fait, les six boules du sextuple ne touchent pas seulement la boule de départ intérieure (en rouge) et la boule de départ extérieure, mais aussi deux autres boules (qui ne sont pas représentées dans l’animation) situées respectivement au-dessus et en dessous du plan contenant les centres du sextuple[13].

Les rayons des cercles de départ sont respectivement r et R ; le rayon des cercles de Steiner est ρ. La distance du centre au centre d'un cercle de Steiner est donc r + ρ (en orange).

Le cas le plus simple est celui où les deux cercles de départ son concentriques. Les cercles d'une chaîne de Steiner fermée sont tous de même rayon. On note ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle R}$ le rayon du petit et du plus grand des cercles de départ, et ${\displaystyle \rho }$ le rayon des cercles de Steiner. Ces nombres sont liés par la relation ${\displaystyle R=r+2\rho }$. Si la chaîne est composée de ${\displaystyle n}$ cercles, l'angle entre les centres de deux cercles consécutifs est ${\displaystyle 2\pi /n}$. La distance entre les centres de deux cercles consécutifs est ${\displaystyle 2\rho }$, et la bissectrice crée deux triangles rectangles. Notons ${\displaystyle \theta }$ l'angle du point central ; alors ${\displaystyle \theta =\pi /n}$. Il en résulte que :

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\rho }{r+\rho }}}$

Ceci donne l'expression pour le rayon ${\displaystyle \rho }$ des cercles de Steiner :

${\displaystyle \rho ={\frac {r\sin \theta }{1-\sin \theta }}}$

Comme ${\displaystyle R=r+2\rho }$, la relation entre ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle R}$pour qu'une chaîne de Steiner à ${\displaystyle n}$ cercles existe est, avec ${\displaystyle \theta =\pi /n}$, donnée par :

${\displaystyle {\frac {R}{r}}=1+{\frac {2\sin \theta }{1-\sin \theta }}={\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}=(\sec \theta +\tan \theta )^{2}}$.

Le critère portant sur le rapport entre les rayons s'étend à toute paire de cercles en utilisant l'écart inversif (en) des deux cercles de départ. Si ceux-ci sont concentriques, l'écart est par définition le logarithme naturel du quotient de leur rayon, soit

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {R}{r}}}$.

Le critère s'écrit alors

${\displaystyle \delta =2\ln \left(\sec \theta +\tan \theta \right)}$.

Si une chaîne de Steiner multi-cyclique contient ${\displaystyle n}$ cercles et fait ${\displaystyle m}$ tours avant de se refermer, l'angle entre deux cercles de Steiner est :

${\displaystyle \theta ={\frac {m}{n}}\pi }$

Les autres formules restent inchangées.

Le porisme de Steiner, c'est-à-dire l'affirmation que toute rotation d'une chaîne de Steiner en est encore une, est évidente dans le cas des cercles concentriques.

• 
  Le point P' est l’inverse du point P par rapport au centre d'inversion O; le cercle d'inversion est en rouge.
• 
  L'inverse du cercle en bleu est le cercle en vert et réciproquement.

Le cas général se ramène au cas de deux cercles concentriques par l'emploi d'un outil puissant qui est l'inversion dans le plan. Les propriétés générales des inversions qui servent ici sont :

• Un cercle qui ne passe pas par le centre d'inversion est transformé en un cercle qui ne passe pas par le centre d'inversion.
• Deux cercles tangents restent tangents après inversion.
• Les centres d'un cercle et de son inverse sont alignés avec le centre d'inversion.

La propriété de l’inversion qui intervient ici est :

L'inversion transforme une chaîne de Steiner en une autre chaîne avec le même nombre de cercles.

Pour la preuve de l’existence, on utilise la propriété suivante qui permet de ramener le cas général au cas de cercles concentriques[14] :

Deux cercles qui ne s'intersectent pas peuvent être transformés, par inversion, en deux cercles concentriques.

Si une chaîne de Steiner est composée 4 cercles, deux cercles opposés de la chaîne peuvent être choisis comme cercles de départ d'une nouvelle chaîne ; les cercles de départ de la chaîne originale deviennent éléments de la nouvelle chaîne. Ceci peut être généralisé à une des chaînes de Steiner ayant un nombre pair d'éléments, en la décomposant en plusieurs chaînes.

• Chaîne de Pappus
• Grand théorème de Poncelet
• Théorème de Descartes
• Cercles d'Apollonius
• Empilement compact
• Hexlet de Soddy

• (en) Charles Stanley Ogilvy, Excursions in Geometry, New York, Dover, 1990, vi+178 (ISBN 0-486-26530-7, présentation en ligne), p. 51–54
• Harold Scott MacDonald Coxeter et Samuel L. Greitzer (trad. de l'anglais), Redécouvrons la géométrie, Paris, Éditions Jacques Gabay, 1997, 211 p. (ISBN 2-87647-134-5)
  Réimpression de la traduction française, parue chez Dunod en 1971, de l'ouvrage publié en 1967 en langue anglaise sous le titre Geometry revisited.
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009, (ISBN 978-2-91-635208-4)

• Jean-Claude Daniel, « Les porismes de Steiner », Repères, IREM, n^o 11,‎ avril 1993, p. 33-46 (lire en ligne)

Animations

• Alexander Bogomolny: Steiner's Chain: What is it? (Applette Java interactive)
• Michael Borcherds: Steiner's Chain (Applette Java interactive)
• Bob Allanson: Steiner's Porism (Applette Java interactive)
• Bob Allanson: Soddy's Hexlet (Applette Java interactive)
• http://codepen.io/yukulele/pen/OVOEdX/ Animation interactive sur Codepen

Documentation

• (en) Eric W. Weisstein, « Steiner chain », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Steiner's Porism », sur MathWorld