Caractère de Chern

Si ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$ est une somme directe de fibrés en droites, ayant pour premières classes de Chern ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ le caractère de Chern de V est défini par :

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m})}$.

Pour tout fibré vectoriel V, on définit son caractère de Chern comme étant la série formelle, obtenue en développant l'expression exponentielle :

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {dim} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}\left(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V)\right)+{\frac {1}{6}}\left(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V)\right)+\cdots }$

qui dépend uniquement des classes de Chern du fibré considéré. Cette expression coïncide avec la précédente dans le cas où V se décompose en somme de fibrés en droites.

On peut transporter cette expression directement dans le cas des faisceaux cohérents (en) V

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}\left(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V)\right)+{\frac {1}{6}}\left(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V)\right)+\cdots }$

où ${\displaystyle \mathrm {rk} \,V}$ désigne le rang du faisceau en un point générique.