Classe de Todd

Soit Q(x) l'expression dépendant de x :

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}}$

Soit E un fibré vectoriel, de racines de Chern ${\displaystyle \alpha _{i}}$, c'est-à-dire vérifiant ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}=c_{1}(E)}$ , etc., la classe de Todd de E est définie par :

${\displaystyle \mathrm {td} (E)=\prod _{i=1}^{k}Q(\alpha _{i})}$

On peut développer la quantité Q en une série formelle faisant intervenir les nombres de Bernoulli :

${\displaystyle Q(x)=1+{\frac {x}{2}}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k-1}B_{k}}{(2k)!}}x^{2k}}$.

Ainsi, on peut exprimer la classe de Todd à partir des classes de Chern uniquement :

${\displaystyle \mathrm {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2})+{\frac {1}{24}}c_{1}c_{2}+\cdots }$

Cette expression a donc un sens pour tout faisceau cohérent (en).

• Si ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$ est une suite exacte courte de fibrés vectoriels, on a ${\displaystyle \mathrm {td} (B)=\mathrm {td} (A)\mathrm {td} (C)}$.

• Caractère de Chern
• Classe de Chern

• Luc Illusie, « Caractère de Chern. Classe de Todd », Séminaire Henri Cartan, t. 16, n^o 1,‎ 1964, p. 1-9 (lire en ligne)
• (en) John Todd, « The arithmetical theory of algebraic loci », Proc. London Math. Soc., vol. 43,‎ 1937, p. 190–225