Automorphisme de corps non continu de C

Soit E l'ensemble des sous-corps de ℂ ne contenant pas √2. E est non vide (car il contient par exemple ℚ) et ordonné (partiellement) par l'inclusion. On vérifie aisément que c'est alors un ensemble inductif. D'après le lemme de Zorn, il possède donc un élément maximal K.

La maximalité de K permet de montrer que l'extension ℂ/K(√2) est algébrique or ℂ est algébriquement clos ; tout automorphisme de corps de K(√2) se prolonge donc en un automorphisme de corps de ℂ (ce résultat est classique et utilise lui aussi l'axiome du choix). En considérant l'automorphisme de K(√2) fixant K point par point et envoyant √2 sur –√2, on obtient alors un automorphisme de corps de ℂ autre que l'identité et la conjugaison : il est donc non continu et même discontinu en tout point.

On en déduit qu'il n'est pas mesurable et que l'image de ℝ est dense : ainsi, l'axiome du choix entraîne l'existence d'un sous-corps dense de ℂ isomorphe à ℝ.