Anneau d'Ore

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau sans diviseur de zéro. Il s'agit d'un anneau d'Ore à droite s'il satisfait la condition d'Ore à droite:

${\displaystyle aR\cap bR\neq 0}$ pour tous ${\displaystyle a,b\in R^{\times }}$

où ${\displaystyle aR}$ et ${\displaystyle bR}$ sont des idéaux principaux à droite de ${\displaystyle R}$ et où ${\displaystyle R^{\times }}$ désigne l'ensemble des éléments non nuls de ${\displaystyle R}$. On définit de même un anneau d'Ore à gauche (en considérant l'intersection d'idéaux principaux à gauche), et comme il a été dit plus haut un anneau d'Ore (sans précision) est bilatère, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un anneau d'Ore à droite qui est également un anneau d'Ore à gauche.

Un anneau d'Ore permet de construire des fractions de manière cohérente. Une fraction à droite est un élément de la forme ${\displaystyle ba^{-1},a\in R^{\times }}$. La condition d'Ore à droite permet de réduire un nombre fini de termes de cette forme au même dénominateur à droite. On définit de manière analogue les fractions à gauche, et la condition d'Ore en garantit la cohérence algébrique.

La construction ci-dessus peut être définie de manière plus générale sur tout sous-ensemble multiplicatif, c'est-à-dire un ensemble ${\displaystyle S}$ tel que pour tous ${\displaystyle a,b\in S}$, on a ${\displaystyle ab\in S}$. Soit ${\displaystyle R}$ un anneau et ${\displaystyle S}$ un sous-ensemble multiplicatif de ${\displaystyle R}$. On dit que ${\displaystyle S}$ est un ensemble de dénominateurs à droite si pour tous ${\displaystyle a\in R,b\in S}$ on a :

• ${\displaystyle aS\cap bR\neq 0}$
• Si ${\displaystyle ba=0}$ alors il existe ${\displaystyle u\in S}$ tel que ${\displaystyle au=0}$.

On peut alors construire l'anneau des fractions à droite ${\displaystyle RS^{-1}}$, qui généralise la notion de localisation aux anneaux non commutatifs. Il existe en fait plusieurs manières de construire une telle localisation (monoïdale, géométrique ou rationnelle) selon le choix de ${\displaystyle S}$.

Si on pose ${\displaystyle S=\{a\in R\mid b\in R^{\times }\Rightarrow ab,ba\in R^{\times }\}}$ alors S est un ensemble de dénominateurs à droite si et seulement si ${\displaystyle R}$ est un anneau d'Ore à droite[2].

La condition d'Ore se généralise en théorie des catégories de la manière suivante. On dit qu'une catégorie ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ satisfait la condition d'Ore si pour tout diagramme

$${\displaystyle A\to C\gets B}$$

d'objets, il existe un objet ${\displaystyle D}$ et deux morphismes tels que le diagramme suivant commute :

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&\qquad \longrightarrow &A\\\downarrow &&\downarrow \\B&\qquad \longrightarrow &C\end{aligned}}}$$

La condition d'Ore est une condition plus faible que l'existence de tirés en arrière, de sorte que toute catégorie possédant des tirés en arrière est d'Ore. Si la catégorie duale est d'Ore, alors la catégorie considérée a la propriété d'amalgamation. En général, satisfaire la condition d'Ore est nécessaire, mais n'est pas suffisant pour construire une catégorie des fractions[3].