Algorithme de Dijkstra

L'algorithme de Dijkstra permet de résoudre un problème algorithmique : le problème du plus court chemin. Ce problème a plusieurs variantes. La plus simple est la suivante : étant donné un graphe non-orienté, dont les arêtes sont munies de poids, et deux sommets de ce graphe, trouver un chemin entre les deux sommets dans le graphe, de poids minimum. L'algorithme de Dijkstra permet de résoudre un problème plus général : le graphe peut être orienté, et l'on peut désigner un unique sommet, et demander d'avoir la liste des plus courts chemins pour tous les autres nœuds du graphe.

L'algorithme prend en entrée un graphe orienté pondéré par des réels positifs et un sommet source. Il s'agit de construire progressivement un sous-graphe dans lequel sont classés les différents sommets par ordre croissant de leur distance minimale au sommet de départ. La distance correspond à la somme des poids des arcs empruntés.

Au départ, on considère que les distances de chaque sommet au sommet de départ sont infinies, sauf pour le sommet de départ pour lequel la distance est nulle. Le sous-graphe de départ est l'ensemble vide.

Au cours de chaque itération, on choisit en dehors du sous-graphe un sommet de distance minimale et on l'ajoute au sous-graphe. Ensuite, on met à jour les distances des sommets voisins de celui ajouté. La mise à jour s'opère comme suit : la nouvelle distance du sommet voisin est le minimum entre la distance existante et celle obtenue en ajoutant le poids de l'arc entre sommet voisin et sommet ajouté à la distance du sommet ajouté.

On continue ainsi jusqu'à épuisement des sommets (ou jusqu'à sélection du sommet d'arrivée).

Distance entre la ville A et la ville J

Animation d'un algorithme de Dijkstra

Étape 1 : on choisit la ville A. On met à jour les villes voisines de A qui sont B, C, et E. Leurs distances deviennent respectivement 85, 217, 173, tandis que les autres villes restent à une distance infinie.

Étape 2 : on choisit la ville B. En effet, c'est la ville hors du sous-graphe qui est à la distance minimale (85). On met à jour le seul voisin (F). Sa distance devient 85+80 = 165.

Étape 3 : on choisit F. On met à jour le voisin I (415).

Étape 4 : on choisit E. On met à jour le voisin J (675).

Étape 5 : la distance la plus courte en dehors du sous-graphe est maintenant celle de la ville C. On choisit donc C. On met à jour la ville G (403) et la ville H (320).

Étape 6 : la distance la plus courte en dehors du sous-graphe est maintenant celle de la ville H (320). On choisit donc H. On met à jour la ville D (503) et la ville J (487< 675).

Étape 7 : la distance la plus courte suivante est celle de la ville G. On choisit G. La mise à jour ne change aucune autre distance.

Étape 8 : la distance la plus courte suivante est celle de la ville I. La distance de la ville voisine J n'est pas modifiée car la distance existante est inférieure à celle que l'on obtiendrait en passant par I (415 + 84 > 487).

Étape 9 : la ville dont la distance est la plus courte est J (487). On choisit J et on l'ajoute au sous-graphe. On s'arrête puisque la ville d'arrivée est maintenant dans le sous-graphe.

L'algorithme de Dijkstra fonctionne aussi sur un graphe non orienté. L'exemple ci-contre montre les étapes successives dans la résolution du chemin le plus court dans un graphe. Les nœuds symbolisent des villes identifiées par une lettre et les arêtes indiquent la distance entre ces villes. On cherche à déterminer le plus court trajet pour aller de la ville A à la ville J.

En neuf étapes, on peut déterminer le chemin le plus court menant de A à J, il passe par C et H et mesure 487 km.

Le graphe est noté ${\displaystyle G=(S,A)}$ où :

• l'ensemble ${\displaystyle S}$ est l'ensemble fini des sommets du graphe ${\displaystyle G}$ ;
• l'ensemble ${\displaystyle A}$ est l'ensemble des arcs de ${\displaystyle G}$ tel que : si ${\displaystyle (s_{1},s_{2})}$ est dans ${\displaystyle A}$, alors il existe un arc depuis le nœud ${\displaystyle s_{1}}$ vers le nœud ${\displaystyle s_{2}}$ ;
• on définit la fonction ${\displaystyle poids}$ définie sur ${\displaystyle S\times S}$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{+\infty \}}$ qui à un couple ${\displaystyle (s_{1},s_{2})}$ associe le poids positif ${\displaystyle poids(s_{1},s_{2})}$ de l'arc reliant ${\displaystyle s_{1}}$ à ${\displaystyle s_{2}}$ (et ${\displaystyle +\infty }$ s'il n'y a pas d'arc reliant ${\displaystyle s_{1}}$ à ${\displaystyle s_{2}}$).

Le poids du chemin entre deux sommets est la somme des poids des arcs qui le composent. Pour une paire donnée de sommets ${\displaystyle s_{deb}}$ (le sommet du départ) ${\displaystyle s_{fin}}$ (le sommet d'arrivée) appartenant à ${\displaystyle S}$, l'algorithme trouve un chemin depuis ${\displaystyle s_{deb}}$ vers ${\displaystyle s_{fin}}$ de moindre poids (autrement dit un chemin le plus léger ou encore le plus court).

L'algorithme fonctionne en construisant un sous-graphe ${\displaystyle P}$ de manière à ce que la distance entre un sommet ${\displaystyle s}$ de ${\displaystyle P}$ depuis ${\displaystyle s_{deb}}$ soit connue et soit un minimum dans ${\displaystyle G}$. Initialement, ${\displaystyle P}$ contient simplement le nœud ${\displaystyle s_{deb}}$ isolé, et la distance de ${\displaystyle s_{deb}}$ à lui-même vaut zéro. Des arcs sont ajoutés à ${\displaystyle P}$ à chaque étape :

1. en identifiant tous les arcs ${\displaystyle a_{i}=(s_{i1},s_{i2})}$ dans ${\displaystyle P\times G}$;

2. en choisissant l'arc ${\displaystyle a_{j}=(s_{j1},s_{j2})}$ dans ${\displaystyle P\times G}$ qui donne la distance minimum depuis ${\displaystyle s_{deb}}$ à ${\displaystyle s_{j2}}$ en passant tous les chemins créés menant à ce nœud.

L'algorithme se termine soit quand ${\displaystyle P}$ devient un arbre couvrant de ${\displaystyle G}$, soit quand tous les nœuds d'intérêt[3] sont dans ${\displaystyle P}$.

On peut donc écrire l'algorithme de la façon suivante :

Entrées : ${\displaystyle G=(S,A)}$ un graphe avec une pondération positive ${\displaystyle poids}$ des arcs, ${\displaystyle s_{deb}}$ un sommet de ${\displaystyle S}$
${\displaystyle P:=\emptyset }$
${\displaystyle d[a]:=+\infty }$ pour chaque sommet ${\displaystyle a}$
${\displaystyle d[s_{deb}]=0}$
Tant qu'il existe un sommet hors de ${\displaystyle P}$
    Choisir un sommet ${\displaystyle a}$ hors de ${\displaystyle P}$ de plus petite distance ${\displaystyle d[a]}$
    Mettre ${\displaystyle a}$ dans ${\displaystyle P}$ 
    Pour chaque sommet ${\displaystyle b}$ hors de  ${\displaystyle P}$ voisin de ${\displaystyle a}$
       Si d[b] > d[a] + poids(a, b)
           ${\displaystyle d[b]=d[a]+poids(a,b)}$
           prédécesseur[b] := a
    Fin Pour
Fin Tant Que

L'efficacité de l'algorithme de Dijkstra repose sur une mise en œuvre efficace de Trouve_min. L'ensemble ${\displaystyle Q}$ est implémenté par une file à priorités. Si le graphe possède ${\displaystyle |A|}$ arcs et ${\displaystyle |S|}$ nœuds, qu'il est représenté par des listes d'adjacence et si on implémente la file à priorités par un tas binaire (en supposant que les comparaisons des poids d'arcs soient en temps constant), alors la complexité en temps de l'algorithme est ${\displaystyle O((|A|+|S|)\times \log(|S|))}$. En revanche, si on implémente la file à priorités avec un tas de Fibonacci, l'algorithme est en ${\displaystyle O(|A|+|S|\times \log(|S|))}$[5].

La démonstration de correction est une récurrence sur Card(P) (qui augmente de 1 à chaque itération) et repose sur l'invariant suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}\forall c\in P,\,d(c)=mini(c)\\\forall c\not \in P,\,d(c)=miniP(c)\end{cases}}}$

où :

• mini(c) est le poids d'un plus court chemin menant à c ;
• miniP(c) est le poids d'un plus court chemin dont tous les sommets intermédiaires sont dans P menant à c.

Si n = Card(P), la preuve est la suivante :

• pour n = 0 et 1 : immédiat ;
• pour n un entier non nul, supposons l'invariant vrai.

L'algorithme sélectionne un pivot ${\displaystyle a\not \in P}$ tel que ${\displaystyle d(a)={\underset {x\not \in P}{Min}}\,d(x)}$, et l'ajoute dans P. Il faut donc montrer que ${\displaystyle d(a)=mini(a)}$ après modification de P:

Par hypothèse, ${\displaystyle d(a)=miniP(a)}$ avant modification de P, donc s'il existe un chemin C tel que ${\displaystyle poids(C)<d(a)}$ alors ce chemin contient au moins un sommet b ${\displaystyle \neq }$ a tel que ${\displaystyle b\not \in P}$.

Soit donc un tel sommet b tel que tous ses prédécesseurs dans C soient dans P (il existe car le premier sommet de C est l'origine qui est dans P). Décomposons C en Cb- et Cb+ où Cb- est la première partie de C dont le dernier sommet est b, et Cb+ la suite de C. Alors ${\displaystyle poids(C)=poids(Cb-)+poids(Cb+)\geq poids(Cb-)=d(b)\geq d(a)}$ : contradiction.

Il n'existe donc aucun chemin C tel que ${\displaystyle poids(C)<d(a)}$ d'où ${\displaystyle d(a)=mini(a)}$. L'égalité est toujours vraie pour les autres éléments de P.

Enfin, l'algorithme met à jour la fonction d (et prédécesseur) pour les successeurs b du pivot a : ${\displaystyle d[b]=\min(d[b],d[a]+poids(a,b))}$.

Montrons qu'alors, ${\displaystyle \forall c\not \in P,\,d(c)=miniP(c)}$ :

• si c n'est pas un successeur du pivot a, alors il n'existe aucun nouveau chemin C menant à c tel que ${\displaystyle poids(C)<d(c)}$ et dont tous les sommets intermédiaires sont dans P après l'ajout de a dans P puisqu'il faudrait alors passer par a avant de passer par un autre sommet ${\displaystyle d\in P}$, mais ce ne serait pas le plus court chemin jusqu'à d puisque le poids du plus court chemin jusqu'à d a déjà été calculé avant l'ajout de a dans P par hypothèse, et ce chemin ne contient donc que des sommets ayant été dans P avant l'ajout de a dans P ;

• sinon, il existe de tels chemins, en notant C le meilleur d'entre eux, alors C sera un des nouveaux chemins engendrés par l'ingestion du pivot a par P, donc ${\displaystyle a\in C}$ et d'autre part le pivot a est le dernier sommet intermédiaire de C puisque le plus court chemin menant aux autres sommets de P ne passe par a comme expliqué plus haut. C est donc la réunion du plus court chemin menant à a avec l'arc (a, c) : d'où ${\displaystyle poids(C)=d(c)=poids((a,c))+d(a)=miniP(c)}$.

L'algorithme de Dijkstra trouve une utilité dans le calcul des itinéraires routiers. Le poids des arcs pouvant être la distance (pour le trajet le plus court), le temps estimé (pour le trajet le plus rapide), la consommation de carburant et le prix des péages (pour le trajet le plus économique).

Une application courante de l'algorithme de Dijkstra apparaît dans les protocoles de routage interne « à état de liens », tels que Open Shortest Path First (OSPF)[6] ou IS-IS[7] – ou encore PNNI (en) sur les réseaux ATM –, qui permettent un routage internet très efficace des informations en cherchant le parcours le plus efficace.

• L'algorithme de Dijkstra est fondé sur un parcours en largeur.
• La spécialisation de l'algorithme de Dijkstra qui calcule un plus court chemin d'une source à une destination est une instance de l'algorithme A* dans lequel la fonction heuristique est la fonction nulle. L'algorithme A* qui utiliserait une heuristique minorante et monotone (par exemple la distance à vol d'oiseau) peut être plus efficace .
• L'algorithme ne s'applique pas aux graphes avec des poids négatifs. Mais l'algorithme de Bellman-Ford permet de résoudre le problème des plus courts chemins depuis une source avec des poids négatifs (mais sans cycle négatif).
• L'algorithme de Floyd-Warshall calcule des plus courts chemins entre tous les sommets dans un graphe où les poids peuvent être négatifs.