1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

Les sommes partielles de 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ sont 1, 3, 7, 15, …. Puisque celles-ci divergent à l'infini, la série diverge aussi vers l'infini. Par conséquent, toute méthode de sommation totalement régulière donne une somme infinie, y compris la sommation de Cesàro et la sommation d'Abel[1]. D'autre part, il existe au moins une méthode généralement utile qui donne à la somme 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ la valeur finie –1. La série entière associée

${\displaystyle f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}}$

a un rayon de convergence en 0 de seulement 1/2, si bien qu'elle ne converge pas en x = 1. Cependant, son prolongement analytique[2] est défini au point 1, où il vaut ${\displaystyle {\frac {1}{1-2}}=-1}$.

Une approche presque identique (celle prise par Euler lui-même[3] - [4] - [5] - [6]) consiste à considérer la série entière dont les coefficients sont tous 1, c'est-à-dire

${\displaystyle 1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}}$

et appliquer y = 2. Bien sûr, ces deux séries sont liées par la substitution y = 2x.

D'autre part, cette série possède d'autres qualités souhaitables pour une méthode de sommation, y compris la stabilité et la linéarité. Ces deux derniers axiomes font que la somme vaut –1, puisqu'ils rendent valide la manipulation suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+16+\cdots \\&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}}$

dans un sens, s = ∞ est la solution de l'équation s = 1 + 2s. (Par exemple, ∞ est l'un des deux points fixes de la transformation de Möbius z ↦ 1 + 2z sur la sphère de Riemann.) Si l'on sait qu'une certaine méthode de sommation renvoie un nombre ordinaire pour s, c'est-à-dire non ∞, alors il est facilement déterminé. Dans ce cas, s peut être soustrait des deux côtés de l'équation, ce qui donne 0 = 1 + s, soit s = –1[7].

La manipulation ci-dessus pourrait être appelée à produire –1 en dehors du contexte d'une procédure de sommation suffisamment puissante. Pour les concepts de somme les plus connus et les plus simples, y compris le convergent fondamental, il est absurde qu'une série de termes positifs puissent avoir une valeur négative. Un phénomène similaire se produit avec les séries géométriques divergentes 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯, où une série d'entiers semble avoir la somme non entière 1/2. Ces exemples illustrent le danger d'appliquer des arguments semblables à un développement décimal périodique comme 0,111… ou plus notoirement 0,999…. Les arguments sont finalement justifiés pour ces séries convergentes, ce qui implique que 0,111… = 1/9 et 0,999… = 1, Mais les preuves sous-jacentes exigent une réflexion approfondie sur l'interprétation des sommes d'une suite infinie[8].

Il est également possible de considérer cette série comme convergente dans un système numérique différent des nombres réels, à savoir les nombres 2-adiques. En tant que série de nombres 2-adiques, cette série converge vers la même somme, –1, que celle démontrée ci-dessus par prolongement analytique[9].