Équipollence (mathématiques)

Il est possible de généraliser la définition précédente à un ensemble quelconque non vide, grâce à la définition axiomatique suivante :

Soit E un ensemble non vide. On considère dans E×E une relation d'équivalence notée « ~ », qui vérifie les deux axiomes :

(E1) : Pour tous a, b, c dans E, il existe un unique d dans E tel que (a, b)~(c, d).

(E2) : Pour tous a, b, c, d dans E, (a, b)~(c, d) ⇒ (a, c)~(b, d).

La relation ~ est alors par définition une équipollence sur E.

Le couple (E, ~ ) est parfois qualifié d'espace affine généralisé. Ses éléments sont alors appelés points, et les couples de points bipoints. La classe du bipoint (a, b) est un vecteur libre dit vecteur généralisé et noté :

${\displaystyle {\vec {ab}}}$.

Les axiomes précédents peuvent alors s'écrire :

(E1) : Pour tous a, b, c dans E, il existe un unique d dans E tel que le vecteur issu de (c, d) soit égal à celui issu de (a, b) :

${\displaystyle \forall \ a\in E,\forall \ b\in E,\forall \ c\in E,\exists$ !\ d\in E,\ {\vec {ab}}={\vec {cd}}}

(E2) : Pour tous a, b, c, d dans E, si le vecteur issu de (a, b) est égal à celui issu de (c, d), alors les vecteurs issus des bipoints obtenus en échangeant les extrémités finales sont encore égaux entre eux :

${\displaystyle \forall \ a\in E,\forall \ b\in E,\forall \ c\in E,\forall \ d\in E,\ ({\vec {ab}}={\vec {cd}})\Rightarrow ({\vec {ac}}={\vec {bd}})\ }$

Cette dernière formule est parfois appelée formule du croisement des équipollences.

Désignons par G l'ensemble des vecteurs généralisés de E. Pour définir la somme de deux vecteurs nous aurons besoin des lemmes suivants :

Le lemme 2 peut encore s'écrire :

${\displaystyle \forall \ a\in E,\forall \ b\in E,\forall \ c\in E,\forall \ p\in E,\forall \ q\in E,\forall \ r\in E,\ [({\vec {ab}}={\vec {pq}})et({\vec {bc}}={\vec {qr}})]\Rightarrow ({\vec {ac}}={\vec {pr}})\ }$

Soient à présent deux vecteurs généralisés quelconques, ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Ce sont par définition des classes d'équivalence; d'après le lemme 1, il existe donc quatre points a, b, p et q tels que :

${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {ab}}\ \ _{et}\ \ {\vec {v}}={\vec {pq}}\ }$

D'après (E1), il existe donc un et un seul c tel que :

${\displaystyle {\vec {bc}}={\vec {pq}}={\vec {v}}\ }$.

Il est alors tentant de poser par définition que :

${\displaystyle {\vec {u}}+{\vec {v}}={\vec {ab}}+{\vec {bc}}={\vec {ac}}}$.

Mais cela n'a de sens que si l'addition ainsi définie est compatible avec la relation d'équipollence dont sont issus les vecteurs généralisés, c'est-à-dire si le vecteur issu du bipoint (a, c) ne dépend ni de a, ni de c, mais seulement des vecteurs ${\displaystyle {\vec {u}}}$ et ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

Preuve. : supposons qu'il existe un autre bipoint (a' , b' ) tel que :

${\displaystyle {\vec {a'b'}}={\vec {u}}={\vec {ab}}\ }$

Alors, d'après (E1), il existe un et un seul c' tel que :

${\displaystyle {\vec {b'c'}}={\vec {v}}={\vec {bc}}\ }$

On en déduit, d'après le lemme 2, que :

${\displaystyle {\vec {a'c'}}={\vec {ac}}\ }$

d'où CQFD.

Il est ensuite aisé de vérifier que l'ensemble G des vecteurs généralisés de E muni de l'addition ainsi définie est un groupe abélien.