Équations des télégraphistes

Schéma des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

Une portion infinitésimale de ligne électrique peut être représentée par un quadripole où :

• la résistance linéique (par unité de longueur) ${\displaystyle R}$ du conducteur est représentée par une résistance série (exprimée en ohms par unité de longueur) ;
• l'inductance linéique ${\displaystyle L}$ est représentée par une bobine (henrys par unité de longueur) ;
• la capacité linéique ${\displaystyle C}$ entre les deux conducteurs est représentée par un condensateur C shunt (farads par unité de longueur) ;
• la conductance linéique ${\displaystyle G}$ du milieu diélectrique séparant les deux conducteurs (siemens par unité de longueur). Le schéma électrique du modèle représente cette conductance par une résistance parallèle de valeur de ${\displaystyle 1/G}$ ohms.

La résistance et la conductance croîssent avec la fréquence et l'inductance varie dans de moindres proportions, à cause de l'effet de peau et, dans les lignes bifilaires, de l'effet de proximité[1].

Soient ${\displaystyle U(x,t)}$ la tension et ${\displaystyle I(x,t)}$ le courant en un point éloigné d'une distance ${\displaystyle x}$ du début de la ligne à un instant ${\displaystyle t}$, on peut écrire deux équations aux dérivées partielles[2]:

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)-RI(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)-GU(x,t)}$

De cette formulation, on peut tirer deux équations ne faisant chacune intervenir qu'une variable :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)+GRU(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}(x,t)+(RC+GL){\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)+GRI(x,t)}$

Ces équations doivent être complétées par la définition de conditions initiales.

On peut ainsi définir la tension à l'extrémité initiale de la ligne comme celle d'une source sinusoïdale

${\displaystyle U(0,t)=U_{0}\sin(2\pi ft)}$

et définir une relation entre courant et tension à l'autre extrémité de la ligne située à une distance ${\displaystyle l}$

• ${\displaystyle U(l,t)=R'I(l,t)}$ pour une ligne chargée par une résistance ${\displaystyle R'}$,
• ${\displaystyle I(l,t)=0}$ pour une ligne à vide, etc.

Dans beaucoup de cas, on peut négliger les pertes résistives. On pose alors ${\displaystyle R=0}$ et ${\displaystyle G=0}$. Les équations s'écrivent :

${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)=-L{\frac {\partial I}{\partial t}}(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I}{\partial x}}(x,t)=-C{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)}$

On peut les combiner pour former deux équations de propagation, qui sont des équations de d'Alembert :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}I}{\partial t^{2}}}(x,t)}$

Dans la ligne sans pertes : ${\displaystyle R=0}$ et ${\displaystyle G=0}$, la première équation des ondes est

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}(x,t)=LC{\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}(x,t)}$

La solution générale de cette équation de propagation est la somme d'une onde de tension ${\displaystyle U_{i}}$ se propageant dans les ${\displaystyle x}$ croissants et d'une autre ${\displaystyle U_{r}}$ se propageant dans le sens des ${\displaystyle x}$ décroissants :

${\displaystyle \forall (x,t)\in \mathbb {R} ^{2},U(x,t)=U_{i}(x,t)+U_{r}(x,t)}$

avec

${\displaystyle \forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},{\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}e^{j(\omega t-k_{i}x)}\\U_{r}(x,t)=U_{r}e^{j(\omega t+k_{r}x)}\end{cases}}}$

Les indices ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle r}$ renvoient aux ondes « incidente » et « réfléchie ».

En injectant l'expression des tensions ${\displaystyle U_{i}}$ et ${\displaystyle U_{r}}$ dans cette équation, on obtient :

pour ${\displaystyle l=\lbrace i,r\rbrace :k_{l}^{2}U_{j}(x,t)=-\omega ^{2}LC{\text{ }}U_{l}(x,t)}$

En simplifiant par ${\displaystyle U_{j}(x,t)}$, on obtient la relation de dispersion suivante :

${\displaystyle k_{l}^{2}=-\omega ^{2}LC}$

soit

${\displaystyle k_{l}=j\omega {\sqrt {LC}}}$

Donc pour les ondes incidente et réfléchie, le nombre d'onde est imaginaire pur.

La constante d'atténuation ${\displaystyle \alpha =\Re (k_{l})}$ est nulle et la constante de propagation ${\displaystyle \beta =\Im (k_{l})=\omega {\sqrt {LC}}}$ et en posant ${\displaystyle k=\omega {\sqrt {LC}}}$, l'expression de la tension ${\displaystyle U}$ est :

${\displaystyle \forall (x,t)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{\text{+}},U(x,t)=U_{i}e^{j(\omega t-kx)}+U_{r}e^{j(\omega t+kx)}}$

Puisque la constante d'atténuation ${\displaystyle \alpha }$ est nulle, la propagation se fait bien sans pertes.

Puisque ${\displaystyle U_{i}}$ se propage dans le sens des x croissants et ${\displaystyle U_{r}}$, dans le sens des x décroissants alors leur expression est de la forme

${\displaystyle {\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t-{x \over v_{i}}{\Bigr )}\\U_{r}(x,t)=U_{r}{\Bigl (}t+{x \over v_{r}}{\Bigr )}\end{cases}}}$avec ${\displaystyle {\begin{cases}v_{i},{\text{la vitesse de propagation de l'onde incidente}}\\v_{r},{\text{la vitesse de propagation de l'onde réfléchie}}\end{cases}}}$

La vitesse de propagation est la vitesse à laquelle se déplace la phase de l'onde.

D'après l'étude précédente sur les solutions de l'équation des télégraphistes en régime sinusoïdal sans pertes, on a :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{i}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t-{x \over v}{\Bigr )}=U_{i0}\ e^{j(\omega t-kx)}=U_{i0}\ e^{j\omega {\Bigl (}t-{k \over \omega }x{\Bigr )}}\\U_{r}(x,t)=U_{i}{\Bigl (}t+{x \over v}{\Bigr )}=U_{r0}\ e^{j(\omega t+kx)}=U_{r0}\ e^{j\omega {\Bigl (}t+{k \over \omega }x{\Bigr )}}\end{cases}}}$

Par identification, on a :

${\displaystyle v_{i}=v_{r}={\omega \over k}}$

La vitesse de propagation de l'onde incidente et de l'onde réfléchie vaut donc ${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}}$ et comme ${\displaystyle k_{l}=j\omega {\sqrt {LC}}}$ ${\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$.