Équation de Yang-Baxter

Soit ${\displaystyle A}$ une algèbre associative unitaire. Sous sa forme la plus générale, l'équation de Yang-Baxter paramétrée est une équation portant sur ${\displaystyle R(u,u')}$, un élément du produit tensoriel ${\displaystyle A\otimes A}$, où ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle u'}$ sont les paramètres (généralement des réels dans le cas d'un paramètre additif, ou des réels strictement positifs dans le cas d'un paramètre multiplicatif).

On pose ${\displaystyle R_{ij}(u,u')=\phi _{ij}(R(u,u'))}$ pour ${\displaystyle i,j=1,\dots ,3}$, où les ${\displaystyle \phi _{ij}:A\otimes A\to A\otimes A\otimes A}$ sont les morphismes d'algèbres définis par

${\displaystyle \phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,}$

${\displaystyle \phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,}$

${\displaystyle \phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.}$

La forme générale de l'équation de Yang-Baxter est

${\displaystyle R_{12}(u_{1},u_{2})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{23}(u_{2},u_{3})=R_{23}(u_{2},u_{3})\ R_{13}(u_{1},u_{3})\ R_{12}(u_{1},u_{2}),}$

pour toutes les valeurs de ${\displaystyle u_{1}}$, ${\displaystyle u_{2}}$ et ${\displaystyle u_{3}}$.

Soit ${\displaystyle V}$ un module sur ${\displaystyle A}$. Soit ${\displaystyle P:V\otimes V\to V\otimes V}$ la volte, c'est-à-dire l'application linéaire définie par ${\displaystyle P(x\otimes y)=y\otimes x}$ pour tous ${\displaystyle x,y\in V}$, et soit ${\displaystyle P_{ij}=\phi _{ij}(P)}$. L'équation de Yang-Baxter, exprimée en termes de l'endomorphisme ${\displaystyle {\check {R}}(u,u')=P\circ R(u,u')}$ de ${\displaystyle V\otimes V}$, prend la forme suivante :

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{2}))({\check {R}}(u_{1},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{2},u_{3}))=({\check {R}}(u_{2},u_{3})\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u_{1},u_{3}))({\check {R}}(u_{1},u_{2})\otimes \mathbf {1} ).}$

On peut aussi exprimer cette équation en reprenant les notations ci-dessus, c'est-à-dire en posant ${\displaystyle {\check {R}}_{ij}(u,u')=\phi _{ij}({\check {R}}(u,u'))}$, auquel cas l'équation s'écrit

${\displaystyle {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{2})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{2},u_{3})={\check {R}}_{12}(u_{2},u_{3})\ {\check {R}}_{23}(u_{1},u_{3})\ {\check {R}}_{12}(u_{1},u_{2}).}$

Dans le cas particulier où ${\displaystyle {\check {R}}}$ ne dépend d'aucun paramètre, l'équation se réduit à

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})=({\check {R}}\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}})({\check {R}}\otimes \mathbf {1} ),}$

et (si ${\displaystyle R}$ est inversible) on obtient une représentation du groupe de tresses ${\displaystyle B_{n}}$ sur ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ en posant ${\displaystyle \sigma _{i}=1^{\otimes i-1}\otimes {\check {R}}\otimes 1^{\otimes n-i-1}}$ pour ${\displaystyle i=1,\dots ,n-1}$. Cette représentation peut être utilisée pour déterminer des quasi-invariants de tresses, de nœuds et d'entrelacs.

Les solutions de l'équation de Yang-Baxter sont souvent contraintes en exigeant que la ${\displaystyle R}$-matrice soit invariante par l'action d'un groupe de Lie ${\displaystyle G}$. Par exemple, dans le cas ${\displaystyle G=GL(V)}$ et ${\displaystyle R(u,u')\in {\text{End}}(V\otimes V)}$, les seules applications ${\displaystyle G}$-invariantes dans ${\displaystyle {\text{End}}(V\otimes V)}$ sont l'identité ${\displaystyle I}$ et la volte ${\displaystyle P}$ introduite plus haut. La forme générale des ${\displaystyle R}$-matrices est alors ${\displaystyle R(u,u')=A(u,u')I+B(u,u')P}$ pour des fonctions scalaires convenables ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$.

L'équation de Yang-Baxter est homogène par rapport aux paramètres, au sens où si on définir ${\displaystyle R'(u_{i},u_{j})=f(u_{i},u_{j})R(u_{i},u_{j})}$, où ${\displaystyle f}$ est une fonction scalaire, alors ${\displaystyle R'}$ est aussi solution de l'équation de Yang-Baxter.

L'espace des paramètres peut lui-même avoir des symétries. Par exemple, l'invariance par translation impose que la dépendance en les arguments ${\displaystyle (u,u')}$ soit uniquement une dépendance par rapport à la différence ${\displaystyle u-u'}$, qui est invariante par translation, alors que l'invariance par changement d'échelle impose que ${\displaystyle R}$ est une fonction du quotient ${\displaystyle u/u'}$.

Un ansatz classique pour trouver des solutions est de les prendre de la forme ${\displaystyle R(u,u')=R(u-u')}$, où ${\displaystyle R}$ ne dépend que d'un seul paramètre (additif). De façon équivalente, en prenant les logarithmes, on peut choisir le paramétrage ${\displaystyle R(u,u')=R(u/u')}$, auquel cas on dit que ${\displaystyle R}$ dépend d'un paramètre multiplicatif. Dans ces cas, on peut réduire l'équation de Yang-Baxter à une forme qui facilite les calculs. Pour un paramètre additif, c'est

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(u+v)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(u+v)\ R_{12}(u)}$

pour tous ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$. Pour un paramètre multiplicatif, l'équation devient

${\displaystyle R_{12}(u)\ R_{13}(uv)\ R_{23}(v)=R_{23}(v)\ R_{13}(uv)\ R_{12}(u)}$

pour tous ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ non nuls.

Les versions « tresses » s'écrivent respectivement

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(u+v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u+v))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} )}$;

${\displaystyle (\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(u))({\check {R}}(uv)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(v))=({\check {R}}(v)\otimes \mathbf {1} )(\mathbf {1} \otimes {\check {R}}(uv))({\check {R}}(u)\otimes \mathbf {1} ).}$

Parfois, le déterminant de ${\displaystyle R(u)}$ peut s'annuler pour certaines valeurs du paramètre spectral ${\displaystyle u=u_{0}}$. Certaines ${\displaystyle R}$-matrices deviennent un projecteur de rang un en ${\displaystyle u=u_{0}}$. Dans ce cas, on peut définir un déterminant quantique.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Yang–Baxter equation » (voir la liste des auteurs).

• Vyjayanthi Chari et Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge, Cambridge University Press, 1994 (ISBN 0-521-55884-0).
• H.-D. Doebner (éd.) et J.-D. Hennig (éd.), Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Berlin, Springer, coll. « Lecture Notes in Physics » (ISBN 3-540-53503-9, présentation en ligne).
• Michio Jimbo, « Introduction to the Yang-Baxter equation », International Journal of Modern Physics A (en), vol. 4, n^o 15,‎ 1989, p. 3759-3777 (DOI 10.1142/S0217751X89001503, Bibcode 1989IJMPA...4.3759J, MR 1017340).
• Christian Kassel, Quantum Groups, vol. 155, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1995, xii+534 (ISBN 978-0-387-94370-1 et 978-1-4612-6900-7, DOI 10.1007/978-1-4612-0783-2).
• Jacques H.H. Perk et Helen Au-Yang, « Yang–Baxter Equations », dans J.-P. Françoise, G.L. Naber and Tsou S.T., Encyclopedia of Mathematical Physics, vol. 5, Oxford, Elsevier, 2006 (ISBN 978-0-1251-2666-3, lire en ligne), p. 465-473.

• Catégorie monoïdale
• Bigèbre de Lie
• Yangien (en)
• Mouvement de Reidemeister
• Algèbre de Hopf quasi triangulaire

• (en) « Équation de Yang-Baxter », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)