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Équation de Yang-Baxter

En physique, l'équation de Yang–Baxter (ou relation triangle-étoile) est une relation de compatibilité qui a été introduite en mécanique statistique. Elle repose sur l'idée que dans certaines situations de diffusion, les particules sont susceptibles de préserver leur moment tout en changeant leur état quantique interne. Elle exprime qu'une matrice qui agit sur deux objets sur trois satisfait à

Illustration de l'équation de Yang-Baxter

Dans les systèmes quantiques en dimension 1, est la matrice de diffusion ; si elle satisfait à l'équation de Yang-Baxter, alors le système est intégrable. L'équation de Yang-Baxter intervient également dans la théorie des nœuds et la théorie des groupes de tresses, où correspond à l'échange de deux brins. Vu que l'on peut échanger trois brins de deux façons différentes, l'équation de Yang-Baxter exprime que les deux reviennent au même.

L'équation est nommée d'après des travaux indépendants de Chen Ning Yang en 1968 et Rodney James Baxter en 1971.

Forme générale de l'équation de Yang-Baxter paramétrée

Soit une algèbre associative unitaire. Sous sa forme la plus générale, l'équation de Yang-Baxter paramétrée est une équation portant sur , un élément du produit tensoriel , où et sont les paramètres (généralement des réels dans le cas d'un paramètre additif, ou des réels strictement positifs dans le cas d'un paramètre multiplicatif).

On pose pour , où les sont les morphismes d'algèbres définis par

La forme générale de l'équation de Yang-Baxter est

pour toutes les valeurs de , et .

Forme non paramétrée

Soit une algèbre associative unitaire. L'équation de Yang-Baxter non paramétrée pour , un élément inversible du produit tensoriel est

où, comme ci-dessus, , et .

Expression dans une base

Souvent, l'algèbre associative est l'algèbre des endomorphismes d'un espace vectoriel sur un corps , c'est-à-dire que . Étant donné une base de , les coefficients de la matrice sont notés , qui correspond à l'application . En omettant la dépendance par rapport au paramètre, le coefficient de l'équation de Yang-Baxter correspondant à l'application s'écrit

Autre forme de l'équation et représentations des groupes de tresses

Soit un module sur . Soit la volte, c'est-à-dire l'application linéaire définie par pour tous , et soit . L'équation de Yang-Baxter, exprimée en termes de l'endomorphisme de , prend la forme suivante :

On peut aussi exprimer cette équation en reprenant les notations ci-dessus, c'est-à-dire en posant , auquel cas l'équation s'écrit

Dans le cas particulier où ne dépend d'aucun paramètre, l'équation se réduit à

et (si est inversible) on obtient une représentation du groupe de tresses sur en posant pour . Cette représentation peut être utilisée pour déterminer des quasi-invariants de tresses, de nœuds et d'entrelacs.

Symétrie

Les solutions de l'équation de Yang-Baxter sont souvent contraintes en exigeant que la -matrice soit invariante par l'action d'un groupe de Lie . Par exemple, dans le cas et , les seules applications -invariantes dans sont l'identité et la volte introduite plus haut. La forme générale des -matrices est alors pour des fonctions scalaires convenables et .

L'équation de Yang-Baxter est homogène par rapport aux paramètres, au sens où si on définir , où est une fonction scalaire, alors est aussi solution de l'équation de Yang-Baxter.

L'espace des paramètres peut lui-même avoir des symétries. Par exemple, l'invariance par translation impose que la dépendance en les arguments soit uniquement une dépendance par rapport à la différence , qui est invariante par translation, alors que l'invariance par changement d'échelle impose que est une fonction du quotient .

Paramétrage et exemples de solutions

Un ansatz classique pour trouver des solutions est de les prendre de la forme , où ne dépend que d'un seul paramètre (additif). De façon équivalente, en prenant les logarithmes, on peut choisir le paramétrage , auquel cas on dit que dépend d'un paramètre multiplicatif. Dans ces cas, on peut réduire l'équation de Yang-Baxter à une forme qui facilite les calculs. Pour un paramètre additif, c'est

pour tous et . Pour un paramètre multiplicatif, l'équation devient

pour tous et non nuls.

Les versions « tresses » s'écrivent respectivement

;

Parfois, le déterminant de peut s'annuler pour certaines valeurs du paramètre spectral . Certaines -matrices deviennent un projecteur de rang un en . Dans ce cas, on peut définir un déterminant quantique.

Exemple de solutions de l'équation de Yang-Baxter paramétrée

  • Une classe particulièrement simple de solutions de l'équation de Yang-Baxter paramétrée peut se déduire de solutions de l'équation sans paramètres telles que , pour lesquelles la représentation correspondante du groupe de tresses est une représentation du groupe symétrique. Dans ce cas, (ou, ce qui revient au même, ) est une solution de l'équation de Yang-Baxter à paramètre (additif). Dans le cas où et , on retrouve la matrice de diffusion de la chaîne de spins XXX de Heisenberg (quantique) (en).
  • Les -matrices des modules d'évaluation du groupe quantique sont données explicitement par les matrices

Alors, l'équation de Yang-Baxter à paramètre (multiplicatif) est satisfaite :

Classification des solutions

On peut classer les solutions en trois types : rationnelles, trigonométriques et elliptiques. Elles sont respectivement reliées aux groupes quantiques appelés Yangiens (en), groupes quantiques affines (en) et algèbres elliptiques (en).

Références

    • Vyjayanthi Chari et Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-55884-0).
    • H.-D. Doebner (éd.) et J.-D. Hennig (éd.), Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Berlin, Springer, coll. « Lecture Notes in Physics » (ISBN 3-540-53503-9, présentation en ligne).
    • Michio Jimbo, « Introduction to the Yang-Baxter equation », International Journal of Modern Physics A (en), vol. 4, no 15,‎ , p. 3759-3777 (DOI 10.1142/S0217751X89001503, Bibcode 1989IJMPA...4.3759J, MR 1017340).
    • Christian Kassel, Quantum Groups, vol. 155, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », , xii+534 (ISBN 978-0-387-94370-1 et 978-1-4612-6900-7, DOI 10.1007/978-1-4612-0783-2).
    • Jacques H.H. Perk et Helen Au-Yang, « Yang–Baxter Equations », dans J.-P. Françoise, G.L. Naber and Tsou S.T., Encyclopedia of Mathematical Physics, vol. 5, Oxford, Elsevier, (ISBN 978-0-1251-2666-3, lire en ligne), p. 465-473.

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