Équation de Goldman-Hodgkin-Katz en tension

Dans une cellule, perméable à certains ions notés i, le potentiel électrochimique de membrane E_m est causé par l'équilibre thermodynamique entre le champ électrique moyen et le gradient de concentration ionique [i] entre l'intérieur et l'extérieur de la cellule. Afin de faciliter les calculs, il est considéré que le mouvement des ions se produit uniquement dans la direction x et que le champ électrique est constant à travers la membrane, de telle façon qu'il prend la valeur E_m/L, où L est la largeur de celle-ci.

Le flux ionique j_i, c'est-à-dire le nombre d'ions traversant, vers l'extérieur, une unité d'aire de la membrane par unité de temps, est déterminé par l'équation de Nernst-Planck.

${\displaystyle j_{i}=-D_{i}\left({\frac {d[i]}{dx}}-{\frac {z_{i}F}{RT}}{\frac {E_{m}}{L}}[i]\right)}$

Ici. le premier terme correspond la loi de Fick décrivant la diffusion de la matière dans un milieu avec une constante de diffusion D_i. Le second se réfère à la relation d'Einstein pour un ion de valence z_i à une température T (K). R et F correspondent aux constantes des gaz parfaits et de Faraday respectivement.

Par la méthode de séparation de variable, il est possible de résoudre cette équation différentielle afin d'obtenir une expression du flux en fonction de la concentration interne [i]_int et externe [i]_ext de la cellule.

${\displaystyle j_{i}=z_{i}{\frac {FE_{m}}{RT}}{\frac {D_{i}}{L}}\left({\frac {[i]_{ext}-[i]_{int}e^{z_{i}{\frac {FE_{m}}{RT}}}}{1-e^{z_{i}{\frac {FE_{m}}{RT}}}}}\right)}$

La densité de courant électrique peut alors être dérivée en multipliant j_i par la charge de l'ion q_i = z_iF. De plus, il devient alors possible de définir la perméabilité ionique P_i comme étant:

${\displaystyle P_{i}={\frac {D_{i}}{L}}}$

À l'équilibre, on suppose que le courant total qui traverse la membrane est nul.

${\displaystyle J_{tot}=\sum \limits _{i}J_{i}=0}$

L'équation générale qui en résulte devient particulièrement complexe à résoudre. Ainsi, seuls les ions de valence +1 ou -1 sont généralement considérés dans les calculs, ce qui en simplifie grandement la résolution. Cette approximation est valable puisque les ions contribuant majoritairement au potentiel membranaire sont le potassium (z_K = +1), le sodium (z_Na = +1) et le chlore (z_Cl = -1). Le total du courant peut alors être exprimé par l'équation suivante:

${\displaystyle \sum \limits _{cations}P_{i}\left([i]_{ext}-[i]_{int}e^{\frac {E_{m}F}{RT}}\right)+\sum \limits _{anions}P_{i}\left([i]_{int}-[i]_{ext}e^{\frac {E_{m}F}{RT}}\right)=0}$

Il est à noter que les deux sommations sont séparées, car les concentrations internes et externes sont interverties en raison de la valence des ions. À la suite de quelques manipulations algébriques, E_m peut être isolé pour obtenir l'équation de Goldman-Hodgkin-Katz.

${\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\frac {\sum \limits _{cations}P_{i}[i]_{ext}+\sum \limits _{anions}P_{i}[i]_{int}}{\sum \limits _{cations}P_{i}[i]_{int}+\sum \limits _{anions}P_{i}[i]_{ext}}}}$

Potentiel électrochimique de membrane