Énergie orbitale spécifique

Certaines conditions, déjà connues de Loi universelle de la gravitation selon Newton, doivent d'abord être posées pour simplifier ce qui suit.

Deux masses en forme de point ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ sont dans le vide à la distance ${\displaystyle r}$ l'une de l'autre. Seule la force de gravitation ${\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$ agit, instantanément et quelle que soit la distance. Le système de coordonnées est inertiel.

En plus il est supposé que ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}$. Il y a donc ${\displaystyle m_{1}}$, le corps central, dans l'origine du système de coordonnées et ${\displaystyle m_{2}}$ est le satellite qui tourne autour. La masse réduite est égale à ${\displaystyle m_{2}}$. L'équation du problème à deux corps

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

décrit le mouvement. ${\displaystyle \mu =Gm_{1}}$ est le paramètre gravitationnel standard et ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (valeur absolue ${\displaystyle r}$) est le vecteur de distance qui pointe depuis le corps central au satellite parce que la masse du satellite est négligeable[Notes 1].

C'est important de ne pas confondre le paramètre gravitationnel standard ${\displaystyle \mu }$ avec la masse réduite dont le symbole est souvent ${\displaystyle \mu }$ également.

Vecteur de distance ${\displaystyle {\vec {r}}}$, vecteur de vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$, anomalie vraie ${\displaystyle \nu }$ et angle de vol ${\displaystyle \phi }$ de ${\displaystyle m_{2}}$ en orbite autour de ${\displaystyle m_{1}}$. Les principales grandeurs de l'ellipse sont aussi dans la figure.

On obtient l'énergie orbitale spécifique en multipliant l'équation du problème à deux corps avec le vecteur ${\displaystyle {\vec {v}}}$ selon un produit scalaire

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {v}}\cdot {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}$

La figure à droite donne les relations

• ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {v}}}}$
• ${\displaystyle v\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )={\dot {r}}}$ (le changement du composant radial de ${\displaystyle {\vec {r}}}$, ne pas confondre avec la valeur absolue ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle {\vec {v}}}$)
• ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )=r{\dot {r}}}$

avec les différentielles suivantes

• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}=v{\dot {v}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}}$

l'équation devient

${\displaystyle v{\dot {v}}+{\dot {r}}{\frac {\mu }{r^{3}}}r={\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}=0}$

Cela veut dire que la somme est constante (grandeur conservée). Et cette somme est exactement l'énergie par unité de masse du satellite, on reconnait l'énergie cinétique par unité de masse ${\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{2}}}$ et l'énergie potentielle par unité de masse ${\displaystyle -{\tfrac {\mu }{r}}}$ [1]

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c=const.}$

avec la constante d'intégration ${\displaystyle c}$, qui peut être fixée au choix selon où ${\displaystyle \epsilon =0}$. En général on choisit ${\displaystyle c=0}$ [1].

En clair l'équation dit que l'énergie orbitale augmente avec la distance entre le satellite et le corps central et avec la vitesse du satellite. La convention ${\displaystyle c=0}$ équivaut à ce que l'énergie orbitale spécifique est négative lorsque le satellite repose sur la surface ou est en orbite fermée. L'énergie est positive quand le satellite est en évasion du champ de gravité.

L'équation de l'énergie orbitale spécifique peut être transformée dans la forme traditionnelle de l'équation de la force vive. Il suffit de considérer l'énergie orbitale à une seule position sur l'orbite (elle est constante), par exemple en périapside. Avec le moment cinétique spécifique ${\displaystyle h}$ la vitesse est

${\displaystyle v_{p}={\frac {h}{r_{p}}}}$

Pour un mouvement képlérien il convient

• ${\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}}$
• ${\displaystyle r_{p}=a(1-e)}$

Pour résumer, l'énergie orbitale spécifique est :

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r_{p}}}={\frac {\mu a(1-e^{2})}{2a^{2}(1-e)^{2}}}-{\frac {\mu }{a(1-e)}}=-{\frac {\mu }{2a}}}$

à part pour un mouvement parabolique où ${\displaystyle e=1}$.

Quelques changements simples donnent la forme traditionnelle de l'équation de la force vive [2]

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

Le rapport important ${\displaystyle \epsilon =-{\tfrac {\mu }{2a}}}$ dit clairement que l'énergie d'un satellite dépend uniquement du paramètre gravitationnel standard et du demi-grand axe de l'orbite.

Cela est valable pour l'orbite elliptique : ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle \epsilon <0}$, qui contient l'orbite circulaire comme cas spécial ${\displaystyle a=r}$ ; et pour l'orbite hyperbolique: ${\displaystyle a<0}$, ${\displaystyle \epsilon >0}$. Dans le cas limite de l'orbite parabolique, l'énergie est 0. Le satellite se trouve alors à la limite entre capté dans le champ gravitationnel du corps central et évasion du champ gravitationnel du corps central.

• Moment cinétique spécifique, une autre unité de conservation du problème à deux corps.