Masse réduite

Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse ${\displaystyle m_{1}}$ et l'autre de masse ${\displaystyle m_{2}}$, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) ${\displaystyle \mu }$ :

${\displaystyle \mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ .}$

La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:

${\displaystyle m_{1}\rightarrow \mu }$

et

${\displaystyle m_{2}\rightarrow 0}$

La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:

${\displaystyle \mu =\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{m_{i}}}\right)^{-1}}$

Lorsque la masse ${\displaystyle m_{1}}$ est très supérieure à la masse ${\displaystyle m_{2}}$ la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :

${\displaystyle \mu ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}}({1+{{m_{2}} \over {m_{1}}})}}\ ={{m_{2}} \over {1+{{m_{2}} \over {m_{1}}}}}\ \approx m_{2}}$

La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,}$

Ainsi,

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,}$

et

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,}$

L'accélération relative a_rel entre les deux corps est donnée par

${\displaystyle \mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{2}}}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}.}$

Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.

Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant

${\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,}$

où r_i est le vecteur de position de la particule ${\displaystyle i}$ (de masse m_i) et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$.

De cette manière,

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

En substituant ceci dans le lagrangien on obtient

${\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$

Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.