Wronskien

Soit l'équation différentielle E : y" = ay' + by, dite linéaire homogène scalaire d'ordre 2 sous forme résolue, dans laquelle a et b sont des fonctions continues.

Si x₁ et x₂ sont deux solutions de cette équation, leur wronskien est défini par

${\displaystyle W(t)={\begin{vmatrix}x_{1}(t)&x_{2}(t)\\x'_{1}(t)&x'_{2}(t)\end{vmatrix}}=x_{1}(t)x'_{2}(t)-x_{2}(t)x'_{1}(t).}$

Exemple du pendule de longueur variable, sans amortissement.
L'équation est y" = –(2 + 0,4 . cos t) y
En bleu et en rouge sont représentées deux solutions particulières, dans l'espace des phases. L'aire du triangle formé par les deux solutions reste constante au cours du temps

Alors qu'il n'est pas toujours possible d'exhiber une solution explicite de l'équation différentielle E, le wronskien peut être déterminé. Il satisfait l'équation d'évolution :

${\displaystyle {\begin{aligned}W'(t)&={\begin{vmatrix}x'_{1}(t)&x'_{2}(t)\\x'_{1}(t)&x'_{2}(t)\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{1}(t)&x_{2}(t)\\x''_{1}(t)&x''_{2}(t)\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}x_{1}(t)&x_{2}(t)\\ax'_{1}(t)+bx_{1}(t)&ax'_{2}(t)+bx_{2}(t)\end{vmatrix}}\\&=a{\begin{vmatrix}x_{1}(t)&x_{2}(t)\\x'_{1}(t)&x'_{2}(t)\end{vmatrix}}\\&=aW(t).\end{aligned}}}$

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1. Le wronskien peut donc être calculé à l'aide d'une primitive A de a

${\displaystyle W(t)=W_{0}\exp(A(t))}$

où W₀ est une constante dépendant des conditions initiales.

Le wronskien s'interprète comme une aire dans le plan (y, y') appelé espace des phases par les physiciens. Le terme a dans l'équation différentielle E est qualifié de terme d'amortissement. L'aire du triangle formé par les valeurs de deux solutions reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul, elle décroît de façon exponentielle s'il est strictement positif.

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie n, I un intervalle de ℝ et y' = ay une équation différentielle linéaire homogène sur E, avec a continue de I dans l'espace L(E) des endomorphismes de E. On note S l'espace solution, qui est un espace vectoriel de dimension n par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

Soit y₁, ... y_n un système de n solutions de l'équation différentielle. On qualifie ce système de système fondamental de solutions quand il constitue une base de S.

On appelle wronskien de ce système le déterminant

${\displaystyle W(t)=\det(y_{1}(t),\dots ,y_{n}(t)).}$

Pour le calculer précisément, il faut spécifier une base de référence.

Par l'isomorphisme de conditions initiales, le wronskien est nul en un point si et seulement si le système de solutions est lié. En conséquence, si le wronskien s'annule en un point, il s'annule en tout point.

Formule de Liouville

L'équation d'évolution du wronskien est

${\displaystyle W'(t)={\rm {tr}}\,a(t)W(t).}$

Le wronskien est donc connu à une constante multiplicative près :

${\displaystyle W(t)=W_{0}\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}{\rm {tr}}\,a(s)\mathrm {d} s\right).}$

Démonstration

On utilise la différentielle du déterminant donnée sous la forme

${\displaystyle \mathrm {d} \,{\det }_{A}(H)={\rm {tr}}({}^{t}{\rm {com}}(A).H)}$

(cf Déterminant), où A et H appartiennent à M_n(ℝ).

Soit aussi Y la matrice formée des colonnes y₁, …, y_n de sorte que Y'(t) = a(t)Y(t). On dérive W par rapport au temps et l'on obtient (cf. Théorème de dérivation des fonctions composées) :

${\displaystyle W'=(\det(Y))'=\mathrm {d} \,{\det }_{Y}(Y')={\rm {tr}}({}^{t}{\rm {com}}(Y).Y')={\rm {tr}}({}^{t}{\rm {com}}(Y).a.Y)={\rm {tr}}(a.Y.{}^{t}{\rm {com}}(Y))}$

D'après la formule de Laplace on obtient ${\displaystyle W'(t)={\rm {tr}}(a(t))W(t).}$ Une autre démonstration, qui n'utilise pas la différentielle du déterminant est donnée dans l'article détaillé.

Il apparaît notamment que le wronskien est soit toujours nul, soit jamais nul, ce qui confirme les observations du paragraphe précédent.

Connaissant n – 1 solutions indépendantes de l'équation, l'expression du wronskien peut être utilisée pour en déterminer une de plus et résoudre complètement l'équation.

Équations scalaires d'ordre n

On s'intéresse à l'équation

${\displaystyle y^{(n)}=a_{0}y+a_{1}y'+a_{2}y''+\ldots +a_{n-1}y^{(n-1)}}$

où les fonctions a_i sont continues à valeurs réelles (ou complexes).

On sait que cette équation peut être ramenée à une équation du type précédent en prenant pour vecteur inconnu

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y\\y'\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{pmatrix}}.}$

Le wronskien d'un système de n solutions est alors défini par

${\displaystyle W(t)={\begin{vmatrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)&\dots &y_{n}(t)\\y'_{1}(t)&y'_{2}(t)&\dots &y'_{n}(t)\\\vdots &\vdots &&\vdots \\y_{1}^{(n-1)}(t)&y_{2}^{(n-1)}(t)&\dots &y_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}}.}$

Son équation d'évolution est

${\displaystyle W'=a_{n-1}W.}$

François Rouvière, Petit guide de calcul différentiel : à l'usage de la licence et de l'agrégation [détail des éditions]