Vecteur excentricité

Dans l'étude générale du problème à deux corps, de masses m₁ et m₂, il est possible de montrer :

• que du fait de la conservation de la quantité de mouvement du système global, il y a séparation entre le mouvement (rectiligne et uniforme) du centre d'inertie du système global des deux corps, de masse totale M par rapport à un référentiel galiléen donné, et celui d'une particule fictive de masse (dite réduite) ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$, dans le référentiel barycentrique[3], soumise à la force d'interaction entre les deux corps. Les trajectoires « réelles » de ces derniers se déduisent de celle de la particule fictive par homothétie (cf. Problème à deux corps).
• Que du fait du caractère central de la force à laquelle elle est soumise, il y a conservation du moment cinétique ${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\wedge (\mu {\dot {\vec {r}}}}$ de la particule fictive, ce qui implique que sa trajectoire est plane. Il est alors possible d'utiliser les coordonnées cylindro-polaires ${\displaystyle ((r,\theta )}$ pour décrire le mouvement de la particule fictive, pour lesquelles le moment cinétique s'écrit ${\displaystyle {\vec {L}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}{\vec {e}}_{z}}$.

Dans le cas très important en astronomie où la force d'interaction est en ${\displaystyle 1/r^{2}}$ [4], l'équation du mouvement de la particule fictive se met sous la forme :

${\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {GM\mu }{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}$.

Par suite, en tenant compte du fait que ${\displaystyle {\vec {L}}={\overrightarrow {cte}}}$, il vient :

${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}={\frac {d}{dt}}\left({\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}\right)=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}\wedge {\vec {L}}=-{\frac {GM\mu }{r^{2}}}{\dot {\theta }}r^{2}{\vec {e}}_{r}\wedge {\vec {e}}_{z}=GM\mu {\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }}$.

Or puisque ${\displaystyle {\dot {{\vec {e}}_{r}}}={\dot {\theta }}{\vec {e}}_{\theta }}$, il vient aussitôt par réarrangement :

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}}{GM\mu }}-{\vec {e}}_{r}\right)={\vec {0}}}$.

Par suite, la grandeur vectorielle sans dimension, appelé vecteur excentricité[R 1], est une intégrale première du mouvement à deux corps dans le seul cas d'un potentiel newtonien :

${\displaystyle {\vec {e}}={\frac {{\dot {\vec {r}}}\wedge {\vec {L}}}{GM\mu }}-{\vec {e}}_{r}}$.

Il est alors possible de prendre comme origine de l'angle polaire θ la direction de ${\displaystyle {\vec {e}}}$, et de montrer en posant ${\displaystyle e=\|{\vec {e}}\|}$ que ${\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {e}}=re\cos {\theta }=p-r}$, où ${\displaystyle p={\frac {L^{2}}{GM\mu ^{2}}}}$. Par suite l'équation de la trajectoire de la particule fictive est celle d'une conique d'excentricité e (d'où le nom du vecteur ${\displaystyle {\vec {e}}}$) et de paramètre p, égale à la distance d'approche minimale du centre de force qui occupe l'un des foyers de cette conique[R 1].

• Problème à deux corps
• Vecteur de Runge-Lenz
• Théorème de Bertrand
• Théorème de Noether

Démonstration des lois de Kepler et propriétés d'une ellipse, cours de mécanique par Bernard Gisin (site personnel)