Univers de Gödel

Cette solution possède plusieurs propriétés remarquables. Elle décrit un univers en rotation, c'est-à-dire un univers qui possède une direction privilégiée que l'on peut localement assimiler à un axe de rotation. Par ailleurs, la structure de l'espace-temps permet l'existence de courbes de genre temps refermées sur elles-mêmes. Ces travaux sont à l'origine de la recherche d'un plus grand nombre de solutions exactes aux équations d'Einstein.

Cette solution décrit un espace quadri-dimensionnel lorentzien (tout comme notre espace-temps) empli de matière non relativiste de pression nulle et d'une constante cosmologique. La métrique (ou l'élément de longueur) de cet espace s'écrit

${\displaystyle {\rm {d}}d^{2}=-{\rm {d}}t^{2}+{\rm {d}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\exp(2{\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-2\exp({\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}t\;{\rm {d}}y,}$

où ${\displaystyle \omega }$ est une constante position représentant la vorticité du fluide qui est au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$. La densité d'énergie ${\displaystyle \rho }$ du fluide et la constante cosmologique ${\displaystyle \Lambda }$ sont reliées à la vorticité par

${\displaystyle 4\pi \rho =-\Lambda =\omega ^{2}}$

dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation valent 1.

L'univers de Gödel représente un espace homogène, c'est-à-dire que tous ses points sont équivalents.

Sa principale particularité est qu'il comporte des courbes de genre temps fermées. Par le changement de coordonnées

${\displaystyle \exp({\sqrt {2}}\omega x)=\cosh 2r+\cos \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \omega y\exp({\sqrt {2}}\omega x)=\sin \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}(\varphi +\omega t-{\sqrt {2}}t)\right)=\exp(-2r)\tan {\frac {1}{2}}\varphi ,}$

l'élément de longueur se réécrit

${\displaystyle {\rm {d}}d^{2}=2\omega ^{-2}\left(-{\rm {d}}t'^{2}+{\rm {d}}r^{2}-(\sinh ^{4}r-\sinh ^{2}r)\;{\rm {d}}\varphi ^{2}-2{\sqrt {2}}\sinh ^{2}r\;{\rm {d}}\varphi \;{\rm {d}}t'\right)+{\rm {d}}z^{2}.}$

Le fluide est toujours au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle z}$ et l'espace autour de l'origine est symétrique par rapport à l'axe ${\displaystyle r=0}$. L'espace étant homogène, cette propriété se retrouve pour tous les autres points. En ${\displaystyle r=0}$, le cône de lumière futur est orienté vers le haut, tout comme dans un système de coordonnées polaires ordinaire dans l'espace de Minkowski, et n'inclut pas les lignes de coordonnées de ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \varphi }$. À mesure que l'on considère des points pour des valeurs plus grandes de ${\displaystyle r}$, les cônes de lumière s'inclinent peu à peu jusqu'à inclure la ligne de coordonnée de ${\displaystyle \varphi }$ à partir de ${\displaystyle r=\ln(1+{\sqrt {2}})}$. Les lignes de coordonnées de ${\displaystyle \varphi }$ sont donc pour les grandes valeurs de ${\displaystyle r}$ des courbes de genre temps fermées. Pour cette raison, l'espace de Gödel n'est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d'Einstein.

• (en) Kurt Gödel, « An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein's Field Equations of Gravitation », Review of Modern Physics, vol. 21,‎ 1949, p. 447-450 (lire en ligne) — L'article historique de Gödel.
• (en) S. W. Hawking et G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Monographs on Mathematical Physics », 1975, 400 p. (ISBN 0521099064), section 5.7, p. 168-170
• Palle Yourgrau, Einstein/Gödel quand deux génies refont le monde, Dunod, 2005 (ISBN 2-10-048735-3)