Type exponentiel

Une fonction f(z) définie sur le plan complexe est dite de type exponentiel s'il existe des constantes réelles M et τ telles que

${\displaystyle \left|f\left(r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }\right)\right|\leq M{\rm {e}}^{\tau r}}$

dans le cas où ${\displaystyle r\to \infty }$. Ici, la variable complexe z est écrite sous la forme z = re^iθ pour indiquer que la limite est indépendante de la direction θ. En notant τ (de façon abusive) l'infimum de tous les τ qu conviennent, on dit que la fonction f est de type exponentiel τ.

Considérons par exemple f(z) = sin(π z). Alors on dit que f est de type exponentiel π, car π est le plus petit nombre qui borne la croissance de sin(π z) sur l'axe imaginaire. Ainsi, dans ce cas, le théorème de Carlson ne s'applique pas, car il n'est vrai que pour des fonctions de type exponentiel inférieur à π. De même, la formule d'Euler-Maclaurin ne s'applique pas non plus, dans la mesure où elle est liée à un théorème lié à la théorie des différences finies.

Une fonction holomorphe F(z) est dite de type exponentiel σ > 0 si

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathbb {R} ,\ |F(z)|\leq A{\rm {e}}^{(\sigma +\varepsilon )|z|}}$

quand ${\displaystyle |z|\to \infty }$ avec ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$. On dira que F(z) est de type exponentiel si F(z) est de type exponentiel σ pour un certain σ > 0.

Le nombre

${\displaystyle \tau (F)=\sigma =\displaystyle \limsup _{|z|\rightarrow \infty }{\frac {\log |F(z)|}{|z|}}}$

est le type exponentiel de F(z). La limite supérieure désigne ici la limite du supremum du rapport au-delà d'un rayon donné alors que le rayon tend vers l'infini. Cette limite supérieure peut exister même si le maximum au rayon r n'a pas de limite quand r tend vers l'infini. Par exemple, pour la fonction

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{10^{n!}}}{(10^{n!})!}}}$

La valeur de

${\displaystyle {\frac {\max _{|z|=r}\log |F(z)|}{r}}}$

pour r = 10^n!-1 est majoré par le n- 1^e terme donc on a les expressions asymptotiques :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\max _{|z|=10^{n!-1}}\log |F(z)|\right)/10^{n!-1}&\sim \left(\log {\frac {(10^{n!-1})^{10^{(n-1)!}}}{(10^{(n-1)!})!}}\right)/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)\left[(n!-1)10^{(n-1)!}-10^{(n-1)!}(n-1)!\right]/10^{n!-1}\\&\sim (\log 10)(n!-1-(n-1)!)/10^{n!-1-(n-1)!}\\\end{aligned}}}$

et tend vers 0 pour n tend vers l'infini[1], mais F(z) est tout de même de type exponentiel 1, comme on peut le voir aux points z = 10^n!.

(Stein 1957) a donné une généralisation de type exponentiel pour les fonctions entières de plusieurs variables complexes. Soit K un sous-ensemble convexe, compact et symétrique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. On sait que pour tout K, il existe une norme associé ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ pour laquelle K est la boule unité de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{K}\leq 1\}.}$

Alors l'ensemble

${\displaystyle K^{*}=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:x\cdot y\leq 1{\text{ pour tout }}x\in {K}\}}$

est appelé l'ensemble polaire de K[3] C'est aussi un sous-ensemble convexe, compact et symétrique de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. De plus, on peut écrire

${\displaystyle \|x\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|x\cdot y|.}$

On étend ${\displaystyle \|\cdot \|_{K}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ vers ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ par

${\displaystyle \|z\|_{K}=\displaystyle \sup _{y\in K^{*}}|z\cdot y|.}$

Une fonction entière F(z) de n variables complexes est dite de type exponentiel par rapport à K si :

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathbb {R} ,\ \forall z\in \mathbb {C} ^{n}\,|F(z)|<A{\rm {e}}^{2\pi (1+\varepsilon )\|z\|_{K}}.}$

Des collections de fonctions de type exponentiel τ peuvent former un espace complet uniforme, qu'on appelle espace de Fréchet, par la topologie induite par la famille dénombrable des normes :

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

• Théorème de Paley-Wiener
• Espace de Paley-Wiener

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exponential type » (voir la liste des auteurs).

• (en) Elias M. Stein, « Functions of exponential type », Ann. of Math., 2^e série, vol. 65,‎ 1957, p. 582–592 (DOI 10.2307/1970066, JSTOR 1970066, MR 0085342)