Théorème de Carlson

En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, le théorème de Carlson est un théorème d'unicité découvert par Fritz David Carlson (en). De manière informelle, il énonce que deux fonctions analytiques distinctes qui ne croissent pas trop vite ne peuvent pas coïncider sur les entiers. Le théorème est une conséquence du principe de Phragmén-Lindelöf, lui-même corollaire du principe du maximum.

Le théorème de Carlson est usuellement invoqué pour démontrer l'unicité du développement en série de Newton. Il possède des généralisations pour d'autres développements.

Enoncé

Soit $f$ satisfaisant les trois conditions suivantes : les deux premières portent sur la croissance asymptotique de $f$ , tandis que la troisième assure l'annulation de $f$ sur les entiers positifs.

$f (z)$ est une fonction entière de type exponentielle, i.e.

|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad z\in \mathbb {C}

Pour des réels

C

τ

donnés.

Il existe $c<\pi$ tel que

|f(iy)|\leq Ce^{c|y|},\quad y\in \mathbb {R}

$f (n) = 0$ pour tout $n$ positif.

Alors $f$ est identiquement nulle.

Finesse des hypothèses

Première hypothèse

La première hypothèse peut-être affaiblie comme suit : $f$ est analytique sur le plan $Re z > 0$ , continue sur $Re z \geq 0$ , et satisfaisant

|f(z)|\leq Ce^{\tau |z|},\quad \operatorname {Re} z>0

pour $C$ , $τ$ réels.

Deuxième hypothèse

Pour vérifier que la deuxième hypothèse ne peut pas être affaiblie, considérons $f(z)=\sin(\pi z)$ . Elle s'annule sur les entiers ; cependant, sa croissance sur l'axe imaginaire est exponentielle avec $c=\pi$ , et est non identiquement nulle.

Troisième hypothèse

Un résultat dû à Rubel (1956), affaiblie cette dernière condition $f$ . Plus précisément, Rubel à montrer que le théorème reste valide si $f$ ne s'annule que sur un ensemble $A\subset \mathbb {N}$ de densité supérieure égale à 1, i.e.

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\left|A\cap \{0,1,\cdots ,n-1\}\right|}{n}}=1.

Cette condition est optimale.

Applications

Soit $f (z)$ une fonction possédant des différences finies $\Delta ^{n}f(0)$ . Considérons la série de Newton

g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z \choose n}\Delta ^{n}f(0)

avec ${z \choose n}$ le coefficient binomial et $\Delta ^{n}f(0)$ la $n$ -ième différence itérée. Par construction, $f (k) = g (k)$ pour tous $k$ positif, montrant que $h (k) = f (k) - g (k) = 0$ . C'est la troisième hypothèse du théorème; si $h$ obéit aux deux autres, alors $h$ est nulle, et $f$ est déterminée par sa série de Newton.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Carslon's theorem » (voir la liste des auteurs).

F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor, (1914) Dissertation, Uppsala, Sweden, 1914.
Riesz, « Sur le principe de Phragmén–Lindelöf », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 20,‎ 1920, p. 205–107, cor 21(1921) p. 6.
Hardy, « On two theorems of F. Carlson and S. Wigert », Acta Mathematica, vol. 42,‎ 1920, p. 327–339 (DOI 10.1007/bf02404414, lire en ligne)
E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2^d Ed) (1939) Oxford University Press (See section 5.81)
R. P. Boas, Jr., Entire functions, (1954) Academic Press, New York.
DeMar, « Existence of interpolating functions of exponential type », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 105, n^o 3,‎ 1962, p. 359–371 (DOI 10.1090/s0002-9947-1962-0141920-6)
DeMar, « Vanishing Central Differences », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 14,‎ 1963, p. 64–67 (DOI 10.1090/s0002-9939-1963-0143907-2)

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