Tube (mathématiques)

Supposons que l'arc c soit sans point d'inflexion et paramétré par l'abscisse curviligne. Le plan normal en ${\displaystyle c(s)}$ est le plan vectoriel orthogonal au vecteur vitesse ${\displaystyle \tau =c'}$, c'est-à-dire le plan vectoriel engendré par :

• la normale unitaire ${\displaystyle \nu (s)}$, l'unique vecteur unitaire positivement colinéaire à ${\displaystyle \tau '(s)}$,
• et la binormale ${\displaystyle b(s)=\tau (s)\wedge \nu (s)}$.

Le cercle euclidien de rayon r de centre ${\displaystyle c(s)}$ tracé dans le plan normal est simplement paramétré par :

${\displaystyle u\mapsto c(s)+r\cos u\nu (s)+r\sin ub(s)}$.

En faisant varier s, on obtient un paramétrage du tube de rayon r autour de c :

${\displaystyle X(u,s)=u\mapsto c(s)+r\cos u\nu (s)+r\sin ub(s)}$

Si la courbe c a un rayon de courbure constamment inférieur à r, le paramétrage obtenu est régulier. Il s'agit même d'un plongement.

Une couleuvre est un objet réel ayant la forme d'un tube

On ne saurait s'empêcher de citer les deux exemples élémentaires suivants :

• Si c est le paramétrage d'une droite affine, id est, ${\displaystyle c(s)=sV+c(0)}$ avec V un vecteur unitaire de ${\displaystyle R^{3}}$, alors le tube de rayon r autour de c est le cylindre de rayon r et d'axe de symétrie la droite ${\displaystyle c(\mathbb {R} )}$. Malheureusement, dans cet exemple, l'accélération est nulle et le paramétrage ci-dessus n'est pas valable.
• Si c est le paramétrage d'un cercle de rayon ${\displaystyle R>r}$, id est ${\displaystyle c(s)=P+R\cos sV+R\sin sW}$ où V et W sont des vecteurs unitaires orthogonaux, le cylindre de rayon r autour de c est un tore, d'axe de symétrie de rotation ${\displaystyle P+R\cdot V\wedge W}$. Le paramétrage est le suivant :

${\displaystyle X(s,v)=P+(R\cos s-r\cos v\sin s)V+(R\sin s+r\cos v\cos s)W+r\sin vV\wedge W}$

• Un autre exemple est celui de l'hélicoïde cerclé.

La notion de tube ne doit pas être considérée comme une figure mathématique abstraite. Elle est seulement la représentation paramétrée idéalisée de nombreux objets réels, comme les tubes fluorescents, les pneus, ou la couleuvre. Dans le calcul du débit à travers une surface, on parle ainsi en hydraulique de « tube de courant[1]. »

Les propriétés métriques des tubes sont résumés dans le tableau suivant :

Propriété métrique	Résultat
Première forme fondamentale	${\displaystyle \mathrm {d} X^{2}=\left[C^{2}+r^{2}\theta ^{2}\right]\mathrm {d} s^{2}+2r^{2}\theta \mathrm {d} s\cdot \mathrm {d} v+r^{2}\mathrm {d} v^{2}}$
Forme d'aire	${\displaystyle \omega =rC\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} v}$
Seconde forme fondamentale	${\displaystyle \left[-\kappa \cos vC+r\theta ^{2}\right]\mathrm {d} s^{2}+r\theta \mathrm {d} s\cdot \mathrm {d} v+r\mathrm {d} v^{2}}$
Courbures principales	${\displaystyle -{\frac {\kappa }{C}}\cos(v)}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

Détail des calculs

La courbe c est supposée paramétrée par longueur d'arc. Pour aborder les questions métriques des tubes, il est important de se rappeler les lois de dérivation sur les repères de Frenet :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\tau '\\\nu '\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&-\theta \\0&\theta &0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\tau \\\nu \\b\end{pmatrix}}}$

où ${\displaystyle \kappa }$ est la courbure et ${\displaystyle \theta }$ est la torsion. Ces lois dérivations interviennent directement dans le calcul des dérivées premières de ${\displaystyle X(s,v)}$ par rapport aux paramètres s et v, nécessaire pour exprimer la première forme fondamentale :

${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial s}}=(1-r\kappa \cos v)\tau (s)-r\theta \sin v\nu (s)+r\theta \cos vb(s)}$ ; ${\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial v}}=-r\sin v\nu (s)+r\cos vb(s)}$.

On pose alors :

${\displaystyle C(s,v)=1-r\kappa (s)\cos v}$.

On suppose que cette quantité est strictement positive (c'est la condition pour que X soit un plongement). La première forme fondamentale s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} X^{2}={\left\|{\frac {\partial X}{\partial s}}\right\|}^{2}\mathrm {d} s^{2}+2\left\langle {\frac {\partial X}{\partial s}}{\Bigg |}{\frac {\partial X}{\partial v}}\right\rangle \mathrm {d} s\cdot \mathrm {d} v+{\left\|{\frac {\partial X}{\partial v}}\right\|}^{2}\mathrm {d} v^{2}=\left[C^{2}+r^{2}\theta ^{2}\right]\mathrm {d} s^{2}+2r^{2}\theta \mathrm {d} s\cdot \mathrm {d} v+r^{2}\mathrm {d} v^{2}}$

La forme volume sur la surface X s'écrit :

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left[C^{2}+r^{2}\theta ^{2}\right]\cdot r^{2}-\left[r^{2}\theta \right]^{2}}}\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} v=rC\mathrm {d} s\wedge \mathrm {d} v}$.

De suite, l'aire A de la surface ${\displaystyle \{X(s,v)\}_{v\in S^{1},s\in [0,L]}}$ s'en déduit par intégration:

${\displaystyle A=\int _{0}^{L}\int _{0}^{2\pi }r(1-r\kappa (s)\cos v)\mathrm {d} v\mathrm {d} s=2\pi rL}$.

Le calcul de la seconde forme fondamentale requiert la connaissance du vecteur unitaire normal et des dérivées partielles secondes de X(s,v) par rapport à s et à v :

${\displaystyle \Gamma (s,v)=-\cos v\nu (s)-\sin vb(s)}$ ; ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}X}{\partial v^{2}}}=-r\cos v\nu (s)-r\sin vb(s)}$ ; ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}X}{\partial s\partial v}}=r\kappa (s)\sin v\tau (s)-r\theta (s)\cos v\nu (s)-r\theta (s)\sin(v)b(s)}$ ; ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial u^{2}}}&=r\left[\kappa (s)\theta (s)\sin v-\kappa '(s)\cos v\right]\tau (s)\\&+\left[\kappa (s)C(s,v)-r\theta '(s)\sin v-r\theta (s)^{2}\cos(v)\right]\nu (s)+r\left[\theta '(s)\cos v-\theta (s)^{2}\sin v\right]b(s)\end{aligned}}}$.

La seconde forme fondamentale de X s'écrit donc :

${\displaystyle \left[-\kappa (s)\cos vC(s,v)+r\theta (s)^{2}\right]\mathrm {d} s^{2}+r\theta (s)\mathrm {d} s\cdot \mathrm {d} v+r\mathrm {d} v^{2}}$

Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme symétrique :

${\displaystyle S(s,v)={\begin{pmatrix}C(s,v)^{2}+r^{2}\theta (s,v)^{2}&r^{2}\theta (s,v)\\r^{2}\theta (s,v)&r^{2}\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}-\kappa (s)C(s,v)\cos v+r\theta ^{2}&r\theta (s)\\r\theta (s)&r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-\kappa (s)\cos v}{C(s,v)}}&0\\{\frac {\theta (s)\kappa (s)}{C(s,v)}}\cos v-r&1/r\end{pmatrix}}}$

Elles sont donc :

${\displaystyle -{\frac {\kappa (s)}{C(s,v)}}\cos v}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$