Transformée de Fourier à court terme

Dans le cas continu, la fonction à transformer est multipliée par une autre fonction qui n'est pas nulle seulement pour une petite période de temps (une fonction à support compact ou a décroissance rapide dite fenêtre). Mathématiquement elle s'écrit :

${\displaystyle \mathbf {STFT} \left\{x(t)\right\}\equiv X(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)w(t-\tau )\mathrm {e} ^{-j\omega t}\,\mathrm {d} t}$

où ${\displaystyle w}$ est la fonction de fenêtrage. Ici, j désigne l'unité imaginaire.

Lorsque la fonction de fenêtrage est une fonction gaussienne, la transformée de Fourier à court terme est également appelée transformée de Gabor.

La transformée de Fourier locale discrète est définie par :

${\displaystyle \mathbf {STFT} \left\{x[n]\right\}\equiv X(m,\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]w[n-m]\mathrm {e} ^{-j\omega n}}$