Transformée de Cramér

Soit ${\displaystyle X}$ une variable aléatoire réelle de loi ${\displaystyle \mu }$. Notons ${\displaystyle K}$ la fonction génératrice des cumulants de ${\displaystyle X}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{tX}]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} }$.

La transformée de Cramér de ${\displaystyle \mu }$, notée ${\displaystyle K^{*}}$, est la transformée de Legendre de ${\displaystyle K}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in \mathbb {R} }\,\{tx-K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in \mathbb {R} }$.

On peut généraliser la définition dans le cas où ${\displaystyle X}$ est à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. Dans ce cas la fonction génératrice des cumulants ${\displaystyle K}$ devient :

${\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in \mathbb {R} ^{d}}$

où ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ désigne le produit scalaire canonique sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$. La transformée de Cramér de ${\displaystyle \mu }$ est alors la transformée de Legendre-Fenchel de ${\displaystyle K}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in \mathbb {R} ^{d}}\,\{\langle t,x\rangle -K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in \mathbb {R} ^{d}}$.

On peut pousser encore la généralisation dans le cas où ${\displaystyle X}$ est à valeurs dans un espace localement convexe séparé ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ muni de sa tribu borélienne. Dans ce cas la fonction génératrice des cumulants ${\displaystyle K}$ devient :

${\displaystyle K(t)=\ln \mathbb {E} [e^{\langle t,X\rangle }]\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}~~~\forall t\in {\mathcal {X}}'}$

où ${\displaystyle {\mathcal {X}}'}$ désigne le dual topologique de ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ et ${\displaystyle \langle t,X\rangle =t(X)}$. La transformée de Cramér de ${\displaystyle \mu }$ est alors la transformée de Legendre-Fenchel de ${\displaystyle K}$, c'est-à-dire :

${\displaystyle K^{*}(x)=\sup _{t\in {\mathcal {X}}'}\,\{\langle t,x\rangle -K(t)\}\in \mathbb {R} _{+}\cup \{+\infty \}~~~\forall x\in {\mathcal {X}}}$.