Transfert bi-elliptique

Un transfert bi-elliptique entre une orbite initiale basse (bleue) via les orbites de transfert elliptiques (cyan et orange) à l'orbite finale haute (rouge).

L'équation fondamentale pour calculer les changements de vitesse requis dans les transferts coplanaires (comme le transfert bi-elliptique) est l'équation de la force vive[1]

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}}}$

• ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle v}$ sont la distance du véhicule spatial du corps céleste central et sa vitesse courante
• ${\displaystyle a}$ est le demi-grand axe de l'orbite
• ${\displaystyle \mu =GM}$ est le paramètre de gravitation de l'objet céleste central (sa masse ${\displaystyle M}$ multipliée par la constante gravitationnelle ${\displaystyle G}$)

Pour une orbite circulaire (${\displaystyle r=a}$) l'équation se simplifie comme suit

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\mu }{r}}}}$

La figure à droite montre comment se passe la manœuvre de transfert bi-elliptique. Le véhicule spatial se situe sur une orbite circulaire (bleue) avec rayon ${\displaystyle r_{1}}$. Sa vitesse est constante ${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}$. Le but de la manœuvre est d'amener le satellite sur l'orbite circulaire haute (rouge) avec rayon ${\displaystyle r_{2}}$.

1. Un changement instantané de vitesse met le satellite sur la première orbite de transfert elliptique (cyane), dont le demi-grand axe est ${\displaystyle a_{1}}$. Le premier changement de vitesse s'élève à
   ${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}}$
   Il faut l'appliquer tangentiellement en direction du vol, comme l'orbite initiale est circulaire cela peut avoir lieu n'importe où.
2. Quand l'apoapside est atteinte, le véhicule spatial est à la distance ${\displaystyle r_{b}=2a_{1}-r_{1}}$ du corps central. La deuxième augmentation de vitesse instantanée est appliquée pour mettre le satellite sur la deuxième orbite de transfert elliptique (orange), dont le demi-grand axe est ${\displaystyle a_{2}={\tfrac {r_{b}+r_{2}}{2}}}$. Il faut de nouveau l'appliquer tangentiellement à la vitesse, la valeur absolue est
   ${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}}$
3. La vitesse est changée une troisième fois quand le satellite se trouve à la périapside de la deuxième orbite de transfert. Cette fois-ci il faut ralentir le satellite pour qu'il reste sur l'orbite circulaire finale.
   ${\displaystyle \Delta v_{3}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}}$

En tout le besoin de carburant (Delta v) est

${\displaystyle \Delta v=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}+\Delta v_{3}=\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\,\right)+\left({\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{b}}}-{\frac {1}{a_{1}}}\right)}}\,\right)+\left({\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}-{\sqrt {\mu \left({\frac {2}{r_{2}}}-{\frac {1}{a_{2}}}\right)}}\,\right)}$

Chaque manœuvre de transfert bi-elliptique, du moins que ${\displaystyle r_{b}>r_{2}}$, est avantageuse du point de vue de besoin en carburant en comparaison avec le transfert de Hohmann si le rayon de l'orbite finale est plus de 15,58 fois plus grand que le rayon de l'orbite initiale. Sous certaines circonstances le transfert bi-elliptique peut demander moins de Delta v même si le rapport des rayons est inférieur à 15,58 (voir la section #Comparaison avec le transfert de Hohmann).

Le temps de la manœuvre de transfert se calcule d'après les moitiés des périodes de révolution des ellipses de transferts. La période ${\displaystyle T}$, c'est-à-dire le temps qu'un satellite met pour faire une révolution sur l'orbite, se calcule d'après la troisième loi de Kepler[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

Donc le temps de la manœuvre de transfert bi-elliptique est

${\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}$

Ceci est beaucoup plus que pour le transfert de Hohmann équivalent, ce qui est un inconvénient important du transfert bi-elliptique (voir la section #Comparaison avec le transfert de Hohmann).

Besoin de Delta v (normée sur ${\displaystyle v_{1}}$) pour quatre manœuvres entre les deux mêmes orbites en dépendance du rapport entre les rayons ${\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$.

La figure à droite montre le besoin de Delta v, une mesure pour le carburant et donc l'énergie nécessaire, pour une manœuvre entre une orbite initiale circulaire avec rayon ${\displaystyle r_{1}}$ et une orbite finale circulaire avec rayon ${\displaystyle r_{2}}$.

${\displaystyle \Delta v}$ est normée sur la vitesse initiale ${\displaystyle v_{1}}$ pour que la comparaison soit générale. Les quatre courbes montrent le besoin de carburant pour un transfert de Hohmann (bleu), un transfert bi-elliptique avec ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=20+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ (rouge), un transfert bi-elliptique avec ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}=100+{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ (cyan) et un transfert bi-parabolique (${\displaystyle r_{b}\rightarrow \infty }$) (vert)[3].

On voit que le transfert de Hohmann est favorable quand le rapport des rayons est inférieur à 11,94. Chaque manœuvre de transfert bi-elliptique, du moins tant que ${\displaystyle r_{b}>r_{2}}$, est favorable si le rayon de l'orbite finale est plus de 15,58 fois plus grand que le rayon de l'orbite initiale.

La distance de l'apoapside commune des deux orbites de transfert (point 2 dans les figures sur le transfert bi-elliptique et le transfert bi-parabolique) est déterminante entre 11,94 et 15,58.

Le tableau suivant établit une liste de la distance de l'apoapside par rapport au rayon de l'orbite initiale ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}$ minimale requise pour qu'un transfert bi-elliptique soit avantageux en termes de Delta v.

${\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}$ minimal, pour que le transfert bi-elliptique soit avantageux du point de vue énergétique[2].

Rapport des rayons ${\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$	${\displaystyle \alpha ={\tfrac {r_{b}}{r_{1}}}}$ minimal	Remarques
0 à 11,94	-	Le transfert de Hohmann est favorable
11,94	${\displaystyle \infty }$	Transfert bi-parabolique
12	815,81
13	48,90
14	26,10
15	18,19
15,58	15,58
plus de 15,58	plus de ${\displaystyle {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$	Chaque transfert bi-elliptique est favorable

Cette cohérence pas forcément intuitive est expliquée avec l'effet d'Oberth.

Le temps très long du transfert bi-elliptique

${\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a_{1}^{3}}{\mu }}}+\pi {\sqrt {\frac {a_{2}^{3}}{\mu }}}}$

est un inconvénient important de cette manœuvre. Le temps devient même infini pour le cas limite du transfert bi-parabolique.

À titre de comparaison, le transfert de Hohmann met moins de la moitié du temps, plus exactement

${\displaystyle \Delta t=\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}$

parce qu'il n'y a qu'une demi-ellipse à orbiter.

• Orbite de transfert
• Delta-V
• Manœuvre orbitale

• A. F. B. A. Prado, « », Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, vol. 25, 2003, p. 122–128 (ISSN 1678-5878, DOI 10.1590/S1678-58782003000200003, lire en ligne)