Théorie moderne du portefeuille

On suppose généralement que la préférence de l'investisseur pour un couple risque / rendement peut être décrite par une fonction d'utilité quadratique. De plus, les évolutions du marché sont supposées suivre une distribution symétrique de Pareto. Par conséquent, seuls le rendement attendu (l'espérance de gain) et la volatilité (l'écart type) sont les paramètres examinés par l'investisseur. Ce dernier ne tient pas compte des autres caractéristiques de la distribution des gains, comme son asymétrie ou même le niveau de fortune investi.

Selon le modèle :

• le rendement d'un portefeuille est une combinaison linéaire de celui des actifs qui le composent, pondérés par leur poids ${\displaystyle w_{i}}$ dans le portefeuille. ;
• la volatilité du portefeuille est une fonction de la corrélation entre les actifs qui le composent. Cette fonction n'est pas linéaire.

Mathématiquement :

En général, pour un portefeuille comportant n actifs :

• Rendement attendu (espérance) :

${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=\sum _{i}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})\quad }$

• Variance du portefeuille :

La variance du portefeuille est la somme des produits des poids ${\displaystyle w_{i}}$ de chaque couple d'actifs par leur covariance ${\displaystyle \sigma _{ij}\,}$ - cette somme inclut les poids au carré et les variances ${\displaystyle \sigma _{ii}\,}$ (ou ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$) pour chaque actif i. La covariance est souvent exprimée en termes de corrélation ${\displaystyle \rho _{ij}\,}$ des rendements entre deux actifs où ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}\,}$

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\rho _{ij}}$

• Volatilité du portefeuille :

${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\sigma _{p}^{2}}}}$

Cas particuliers :

Pour un portefeuille composé de deux actifs :

Espérance : ${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+(1-w_{A})\operatorname {E} (R_{B})=w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})}$

Variance : ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}}$

Lorsque le portefeuille est composé de trois actifs, la variance devient :

${\displaystyle w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}+w_{C}^{2}\sigma _{C}^{2}+2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{BC}}$

(Comme on le voit, plus le nombre n d'actifs grandit, plus la puissance de calcul nécessaire est importante : le nombre de termes de covariance est égal à n * (n-1) / 2. Pour cette raison, on utilise généralement des logiciels spécialisés. On peut néanmoins développer un modèle en utilisant des matrices ou dans une feuille de calcul d'un tableur.)

Un investisseur peut réduire le risque de son portefeuille simplement en détenant des actifs qui ne soient pas ou peu positivement corrélés, donc en diversifiant ses placements. Cela permet d'obtenir la même espérance de rendement en diminuant la volatilité du portefeuille.

Mathématiquement :

D'après les formules développées ci-avant, on comprend que lorsque le coefficient de corrélation entre deux actifs est négatif, la variance est plus petite que la simple somme pondérée des variances individuelles.

Chaque couple possible d'actifs peut être représenté dans un graphique risque/rendement. Pour chaque rendement, il existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau de risque, on peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de ces portefeuilles est appelé frontière efficiente ou frontière de Markowitz.

Cette frontière est croissante par construction.

La région au-dessus de la frontière ne peut être atteinte en détenant seulement des actifs risqués. Un tel portefeuille est impossible à construire. Les points sous la frontière sont dits sous-optimaux, et n'intéresseront pas un investisseur rationnel.

On comprend, d'après ce qui précède, que l'investisseur averti cherchera la plus grande diversification possible jusqu'à atteindre cette limite appelée frontière efficiente. En l'absence d'actif sans risque, elle se présente sous la forme d'une partie d'hyperbole (resp. de parabole) quand on se place dans un repère (écart-type, espérance de rendement) (resp. (variance, espérance de rendement)).

L'introduction d'un actif sans risque modifie la frontière efficiente : elle devient alors la droite dont l'ordonnée à l'origine est le taux sans risque et qui est tangente à la frontière efficiente déterminée précédemment par l'ensemble des actifs à risque. Le point de tangence constitue le portefeuille du marché : c'est le seul portefeuille efficient constitué exclusivement d'actifs risqués. Tous les autres portefeuilles efficients sont des combinaisons linéaires de l'actif sans risque et du portefeuille de marché.

Le choix du portefeuille par individu, par investisseur se fait sur la droite (RfM). Cette droite est la droite du marché des capitaux ou CML (capital market line).

Elle représente la rentabilité attendue en ordonné et le risque en abscisse de l'ensemble des titres présents sur le marché. Si un titre se situe au-dessus de cette droite, il est sous-évalué. En effet, cela signifie qu'il rapporte plus que ce qui est attendu à un risque donné, donc investir.

L'intersection avec la droite des ordonnées représente le taux de rentabilité attendu sur les marchés pour un risque nul.

On suppose que les marchés financiers sont parfaits au sens des hypothèses de la concurrence. Il n'y a pas d'impôt, pas de barrières à l'entrée et une absence de coût de transaction. L'information est disponible gratuitement pour tous les agents. Les agents sont des preneurs de prix et ils ont tous intérêt à combiner deux actifs.

Selon ce modèle, le rendement exigé sur un actif est fonction de son risque systématique. Plus précisément, on a:

${\displaystyle E(R_{actif})=R_{F}+\beta _{actif}\cdot [E(R_{M})-R_{F}]}$

Une fois ce rendement obtenu, on obtient la valeur de l'actif en actualisant ses flux avec comme taux le rendement exigé.

${\displaystyle E(R_{p})=r+[E(R_{M})-r]\cdot b_{p}=r+q\cdot b_{p}}$
(pour un seul titre i : ${\displaystyle E(R_{i})=r+[E(R_{M})-r]\cdot b=r+q\cdot b}$ )
${\displaystyle b_{p}=Cov(R_{p},R_{M})/s2(R_{M})}$
${\displaystyle =r(R_{p},R_{M})s(R_{p})s(R_{M})/s2(R_{M})}$
q : Prime par unité de risque
r : Actif non risqué
${\displaystyle E(R_{p})=r_{f}+[E(R_{M})-r_{f}]\cdot b_{p}=r_{f}+q\cdot b_{p}}$

• Harry Markowitz
• William F. Sharpe
• Modèle d'évaluation des actifs financiers
• Ratio de Sharpe
• Ratio de Treynor
• Coefficient bêta
• Allocation d'actifs
• Critère de Kelly

• Benoît Mandelbrot. Fractales, hasard et finance, Flammarion, 1959, 1997.
• Benoît Mandelbrot. Une approche fractale des marchés, Benoît Mandelbrot & Richard Hudson, éditions Odile Jacob, 2005.
• Le Cygne Noir. La puissance de l'imprévisible Nassim Nicholas Taleb, Les Belles Lettres (2008). (ISBN 978-2-251-44348-5).
• Nassim Nicholas Taleb (2005), Le Hasard sauvage : Des marchés boursiers à notre vie : le rôle caché de la chance, Les Belles Lettres. (ISBN 2-251-44297-9)
• Harry Markowitz. (1952). Portfolio Selection, Journal of Finance, 7 (1), 77-91.
• William Forsyth Sharpe (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk, Journal of Finance, 19(3), 425-442.
• Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and Statistics, 47
• Tobin, James (1958). Liquidity preference as behavior towards risk, The Review of Economic Studies, 25, 65-86.
• La Théorie moderne du portefeuille, Florin Aftalion, Patrice Poncet, Que sais je?, (ISBN 2130497683)