Théorie de l'obstruction

Le sens le plus ancien donné à l'expression « théorie de l'obstruction » est, en topologie algébrique, et plus précisément en théorie de l'homotopie, celui d'une procédure, définie par récurrence sur la dimension, permettant de prolonger une application continue définie sur un complexe simplicial, ou sur un CW-complexe. Traditionnellement appelée théorie de l'obstruction d'Eilenberg, du nom de Samuel Eilenberg, cette procédure met en jeu des groupes de cohomologie dont les coefficients sont pris dans des groupes d'homotopie, pour définir des « blocages » à ces prolongements, appelés obstructions. Par exemple, pour étendre une application f d'un complexe simplicial X vers un autre, Y, définie initialement sur le 0-squelette de X (les sommets de X), une extension au 1-squelette (les arêtes) sera possible si Y est « suffisamment » connecté par arcs ; étendre ensuite f au 2-squelette (l'ensemble des faces triangulaires) revient à remplir l'intérieur des images des arêtes bordant chaque triangle, ce qui n'est possible que si le triangle formé par les images des arêtes est contractile (homotopiquement réductible à un point). Le calcul des obstructions revient à mesurer précisément (pour f, X et Y donnés) ce qu'il faudrait modifier pour que f soit effectivement prolongeable.

En topologie géométrique, la théorie de l'obstruction a pour objectif de déterminer si une variété topologique peut être munie d'une structure linéaire par morceaux (en), et si une variété linéaire par morceaux peut être munie d'une structure de variété différentielle.

On sait en particulier qu'en dimension 2 (Tibor Radó), et 3 (Edwin E. Moise), les notions de variété topologique et de variété linéaire par morceaux coïncident, mais que ce n'est plus vrai en dimension 4. D'autre part, en dimensions ${\displaystyle \scriptstyle \leq }$ 6, les variétés linéaires par morceaux sont des variétés différentielles.

Les deux questions fondamentales de la théorie de la chirurgie sont de déterminer si un espace topologique dont le dual de Poincaré est de dimension n est homotopiquement équivalent à une variété différentielle, et de déterminer si une équivalence d'homotopie entre deux variétés de dimension n est homotope à un difféomorphisme. Dans les deux cas, il y a deux obstructions pour n > 9 : une obstruction primaire venant de la K-théorie topologique (en) à l'existence d'un fibré vectoriel ; si elle disparait, il existe une application normale (en), permettant de définir une obstruction secondaire « chirurgicale » venant de la L-théorie algébrique, empêchant d'exécuter sur l'application normale une opération la ramenant à une équivalence d'homotopie.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Obstruction theory » (voir la liste des auteurs).

• (en) Alexandru Scorpan, The wild world of 4-manifolds, Providence, American Mathematical Society, 2005, 609 p. (ISBN 978-0-8218-3749-8, lire en ligne)