Théorie de l'élimination

En algèbre commutative et en géométrie algébrique, la théorie de l'élimination traite de l'approche algorithmique de l'élimination de variables entre polynômes. Le cas linéaire est maintenant couramment traité par élimination de Gauss, plus efficace que la méthode de Cramer. De même, des algorithmes d'élimination s'appuient sur des calculs de bases de Gröbner, alors qu'il existe des publications anciennes sur divers types d'« éliminants », comme le résultant pour trouver les racines communes à deux polynômes, le discriminant, etc. En particulier le discriminant apparaît dans la théorie des invariants et est souvent construit comme l'invariant d'une courbe algébrique ou d'un polynôme homogène. Alors que le discriminant est un cas particulier de résultant, sa construction et sa signification peuvent varier. Une version moderne et systématique de la théorie du discriminant a été développée par Gelfand et ses coauteurs[2]. Certaines méthodes systématiques ont un contenu homologique que l'on peut expliciter, comme dans le théorème des syzygies de Hilbert. Ce domaine est au moins aussi ancien que le théorème de Bézout.

Le développement historique de l'algèbre commutative, qu'on appelait à l'origine théorie des idéaux, est intimement lié aux concepts de la théorie de l'élimination : des idées de Kronecker, qui avait écrit un article majeur sur le sujet, furent adaptées par Hilbert et « linéarisées » mais avec perte, dans un premier temps, du contenu constructif explicite. Le processus continua sur plusieurs décennies : le travail de Macaulay, d'après qui ont été nommés les anneaux de Cohen-Macaulay, a été motivé par l'élimination.

La théorie de l'élimination a aussi un contenu logique, qui apparaît dans le problème SAT, soulevant des questions de complexité algorithmique. L'élimination des quantificateurs existentiels est possible dans certains cas, comme celui des corps algébriquement clos. Une conséquence géométrique est que si X est une variété algébrique sur un corps algébriquement clos k et Y un fermé de Zariski du produit de X par un espace projectif sur k, alors le projeté X₀ de Y dans X est un fermé[3] et plus généralement, pour tout entier e, l'ensemble X_e des points de X au-dessus desquels la fibre dans Y est de dimension supérieure ou égale à e est un fermé[4]. L'histoire semble montrer que ce fait a influencé la pensée de Hilbert sur les perspectives en théorie de la démonstration.

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