Théorèmes d'isomorphisme

Premier théorème d'isomorphisme[1] — Soit ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ un morphisme de groupes. Alors ${\displaystyle f}$ induit un isomorphisme ${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$.

Deuxième théorème d'isomorphisme[2] — Soient ${\displaystyle G}$ un groupe, ${\displaystyle N}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$ un sous-groupe de ${\displaystyle G}$. Alors ${\displaystyle H\cap N}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle H}$, et on a l'isomorphisme suivant :

${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N.}$

Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient ${\displaystyle G}$ un groupe et ${\displaystyle N}$ et ${\displaystyle M}$ deux sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ tels que ${\displaystyle M}$ soit inclus dans ${\displaystyle N}$. Alors ${\displaystyle N/M}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle G/M}$ et on a l'isomorphisme suivant :

${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$