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Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes , on peut rendre injectif en quotientant par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.

Premier théorème d'isomorphisme[1] Soit un morphisme de groupes. Alors induit un isomorphisme .

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Diagramme commutatif de la factorisation canonique d'un homomorphisme
Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme[2] Soient un groupe, un sous-groupe normal de et un sous-groupe de . Alors est un sous-groupe normal de , et on a l'isomorphisme suivant :

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de contient (au lieu de le supposer égal à tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme[3] Soient un groupe et et deux sous-groupes normaux de tels que soit inclus dans . Alors est un sous-groupe normal de et on a l'isomorphisme suivant :

Notes et références

  1. Pour une démonstration, voir par exemple « Premier théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  2. Pour une démonstration, voir par exemple « Second théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
  3. Pour une démonstration, voir par exemple « Troisième théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

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