Théorème fondamental de l'algèbre linéaire

En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre linéaire est un ensemble d'énoncés concernant les espaces vectoriels et l'algèbre linéaire, popularisé par Gilbert Strang. La dénomination de ces résultats n'est pas universellement acceptée.

Plus précisément, soit $f$ une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie, représentés par une matrice $m \times n$ $M$ de rang $r$ , alors :

$r = rg(M)$ est la dimension de l'espace colonne de $M$ , qui représente l'image de $f$ ;
$n - r = dim ker(M)$ est la dimension du noyau de $M$ , qui représente $ker(M)$ , le noyau de $f$ ;
$m - r$ est la dimension du conoyau de $f$ .

La transposée $M T$ de $M$ est la matrice du dual $f *$ de $f$ . Il s'ensuit que l'on a aussi :

$r = rg(M)$ est la dimension de l'espace colonne de $M$ , qui représente l'image de $f *$ ;
$m - r = dim ker(M T)$ est la dimension du noyau à gauche de $M$ , qui représente le noyau de $f *$ ;
$n - r$ est la dimension du conoyau de $f *$ .

Les deux premières assertions sont aussi appelées le théorème du rang, qu'on peut résumer en ${\rm {rg}}M+{\rm {dim\,}}\ker M=n$ . On a également :

$Ker(M)$ est égal à l'orthogonal de $Im(M T)$
$Ker(M)$ et $Im(M T)$ sont en somme directe dans ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

De plus, en considérant la décomposition en valeurs singulières de $M = U Σ V T$ , alors les colonnes de $U$ et $V$ forment des bases orthonormales des quatre sous-espaces fondamentaux de $M$ :

les $r$ premières colonnes de $U$ forment une base orthonormale de $Im(M)$
les $r$ premières colonnes de $V$ forment une base orthonormale de $Im(M T)$
les $m-r$ premières colonnes de $U$ forment une base orthonormale de $Ker(M T)$
les $n-r$ premières colonnes de $V$ forment une base orthonormale de $Ker(M)$

Démonstration

On note $M 1, M 2, ..., M m$ les vecteurs ligne de $M$ . Alors :

{\begin{aligned}x\in \mathrm {ker} (M)&\Longleftrightarrow Mx=0_{m}\\&\Longleftrightarrow \forall i=1,...,m,\ M_{i}^{\mathrm {T} }x=0\\&\Longleftrightarrow \forall \alpha _{i},i=1,...,m,\ \left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}M_{i}^{\mathrm {T} }\right)x=0\\&\Longleftrightarrow \forall v\in \mathrm {Im} (M^{\mathrm {T} }),v^{\mathrm {T} }x=0\\&\Longleftrightarrow x\in \mathrm {Im} (M^{\mathrm {T} })\end{aligned}}

Le reste se déduit du théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fundamental theorem of linear algebra » (voir la liste des auteurs).
(en) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Orlando, Saunders, 1988.
(en) Gilbert Strang, « The fundamental theorem of linear algebra », American Mathematical Monthly, vol. 100, n^o 9,‎ 1993, p. 848–855 (DOI 10.2307/2324660, JSTOR 2324660, CiteSeer^x 10.1.1.384.2309, lire en ligne)
(en) Sudipto Banerjee et Anindya Roy, Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, Chapman and Hall/CRC, coll. « Texts in Statistical Science », 2014 (ISBN 978-1420095388)

Liens externes

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Gilbert Strang, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces, from MIT OpenCourseWare

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