Théorème de la raréfaction des nombres premiers

On note ${\displaystyle P\left(p_{n}\right)=\prod _{i=1}^{n}p_{i}}$ le produit des ${\displaystyle n}$ premiers nombres premiers.

On calcule d'une part l'indicatrice d'Euler de ${\displaystyle P\left(p_{n}\right)}$[3] :

Lemme : Les entiers de l'intervalle ${\displaystyle \left[1,P\left(p_{n}\right)\right]}$ qui ne sont multiples d'aucun des ${\displaystyle p_{i}}$ sont au nombre de ${\displaystyle (p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{n}-1)}$, donc leur proportion est ${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)}$.

On prouve d'autre part que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\dots \left(1-{\frac {1}{p_{n}}}\right)=0}$ (par divergence de la série des inverses des nombres premiers ou, plus directement[4], en utilisant l'expression de la somme d'une série géométrique de raison 1/p_k < 1 et la divergence de la série harmonique).

Une petite astuce supplémentaire permet d'en déduire le résultat final.

• Constante de Legendre
• Postulat de Bertrand