Théorème de Sylvester-Gallai

Ce théorème est issu d'un problème initialement posé par James Joseph Sylvester[1], qui fut reposé indépendamment par Paul Erdős[2]. Il fut résolu par Tibor Gallai en 1944[3], même si un théorème équivalent avait déjà été montré par Eberhard Melchior (en)[4].

Le même problème peut être posé dans le plan projectif réel plutôt que dans le plan euclidien. Le problème projectif ne généralise en rien le problème euclidien, car tout ensemble fini de points projectifs peut être ramené à un ensemble de points du plan euclidien par une transformation conservant les droites ordinaires. Le point de vue projectif permet cependant de décrire plus naturellement et donc plus facilement certaines configurations, par exemple la configuration de McKee, décrite plus bas.

Par dualité projective, l'existence d'une droite ordinaire associée à un ensemble fini de points non alignés du plan projectif est équivalente à l'existence d'un point ordinaire, c'est-à-dire un point d'intersection d'exactement deux droites, dans un ensemble de droites qui ne passent pas toutes par un point commun.

Melchior a montré en 1940, avant la preuve de Gallai, que tout ensemble fini de droites non concourantes présente au moins trois points ordinaires. Il s'est servi de la caractéristique d'Euler pour montrer que tout tel arrangement de droites a au moins trois sommets de degré 4 ; par dualité, tout ensemble de points non alignés possède donc au moins trois droites ordinaires.

La preuve suivante[5] est due à Leroy Milton Kelly (en)[6] et repose sur la méthode de descente infinie.

Supposons donné un ensemble fini de points du plan, non alignés (en particulier, cet ensemble contient au moins trois points). Nous appellerons droite de connexion toute droite qui contient au moins deux points de l'ensemble. Il s'agit de montrer qu'au moins une de ces droites de connexion contient exactement deux points.

La grandeur utilisé pour la méthode de la descente infinie sera le minimum des distances entre chaque droite de connexion et tous les points extérieurs à celles-ci.

Supposons donc que notre ensemble de points n'est pas aligné, et soit (P,l) un point et une droite de connexion de distance minimale strictement positive parmi tous les points et les droites de connexion. Par hypothèse, l contient alors trois points, notés A, B et C. On considère la perpendiculaire à l passant par P. Il doit y avoir au moins deux points se trouvant d'un côté de la perpendiculaire. Considérons que C est le point le plus éloigné et B le point le moins éloigné de la perpendiculaire. Considérons alors la droite de connexion m passant par C et P. m est alors une droite de connexion qui ne contient pas B et la distance séparant B de m est strictement inférieure à la distance séparant P de l. En effet, si l'on considère les projections, le triangle rectangle hypoténuse BC est semblable à celui d'hypoténuse PC, et strictement inclus dans celui-ci.

Ainsi nous avons montré qu'il est toujours possible sous l'hypothèse initiale de trouver un point de notre ensemble avec une distance minimale aux droites de connexions strictement inférieur à un point donné. Ceci mène à une contradiction, puisqu'il y a un nombre fini de telles distances.

Les deux configurations connues de n points présentant moins de n/2 droites ordinaires.

Si le théorème de Sylvester-Gallai affirme l'existence d'au moins une droite de connexion contenant exactement deux points (droite ordinaire), on ne connaît pas d'arrangement de points tel qu'il n'existe qu'une seule droite ordinaire ; le résultat de Melchior montre que, si les points ne sont pas tous alignés, il existe au moins trois droites ordinaires.

Ceci conduisit Gabriel Dirac à émettre la conjecture[7] affirmant que pour tout ensemble de n points non alignés, il existe au moins ⁿ⁄₂ droites ordinaires. En 2006, cette conjecture est démentie par seulement deux contre-exemples :

• Le premier, trouvé par Kelly et Moser[8], est composé par les sommets, les milieux d'arêtes, et le centre d'un triangle équilateral ; ces sept points déterminent seulement trois droites ordinaires. La configuration dans laquelle ces trois droites ordinaires se confondent en une seule droite ne peut être réalisée dans le plan euclidien, mais forme un plan projectif fini connu sous le nom de plan de Fano.
• L'autre contre-exemple, imaginé par McKee[9], est constitué des sommets de deux pentagones réguliers ayant une arête commune, du milieu de cette arête, et de quatre points à l'infini (c'est-à-dire situés sur la droite à l'infini dans le plan projectif). Ces 13 points déterminent 6 droites ordinaires. Il est possible de déformer cette configuration de manière à ramener tous les points dans le plan euclidien usuel.

Une version plus faible de la conjecture de Dirac a été prouvée par Csima et Sawyer[10]. Elle énonce que dans n'importe quel ensemble de n points, il y a au moins ${\displaystyle \scriptstyle \left\lceil {\frac {6n}{13}}\right\rceil }$ droites ordinaires.

Un résultat proche du théorème de Sylvester-Gallai est le théorème de Beck, qui affirme qu'un ensemble de points du plan présente soit un grand nombre de droites de connexion, soit un grand sous-ensemble maximal de points alignés.

Un algorithme de Mukhopadhyay et al.[11] - [12] permet de trouver une droite ordinaire dans un ensemble de n points en temps O(n log n).

• Arrangement de droites (en)
• Configuration (géométrie)
• Incidence (géométrie) (en)
• Théorème de De Bruijn-Erdős (géométrie d'incidence)
• Théorème de Don Chakerian
• Théorèmes de Sylvester

• Jonathan Chappelon, « Le théorème de Sylvester-Gallai », Images des mathématiques, CNRS, 2022