Théorème de Schmidt (théorie des groupes)

Supposons qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal. Alors :

• pour tout sous-groupe maximal H, le normalisateur de H est réduit à H donc le nombre des conjugués de H est égal à l'indice (≥ 2) de H ;
• G n'est pas cyclique, donc :
  • l'indice de tout sous-groupe maximal est majoré par |G|/2 ;
  • G est la réunion de ses sous-groupes maximaux.

Les H\{e} pour H maximal (où e désigne l'élément neutre) étant de plus supposés disjoints 2 à 2, ils forment une partition de G\{e}. En notant c le nombre de leurs classes de conjugaison, h_i l'indice des sous-groupes de la i-ème classe et g l'ordre de G, on en déduit une contradiction : ${\displaystyle g-1=\sum _{i=1}^{c}h_{i}\left({\frac {g}{h_{i}}}-1\right)=cg-\sum _{i=1}^{c}h_{i}\in \left[{\frac {cg}{2}},c(g-2)\right]\Rightarrow 1\geq c\geq 2.}$

Parmi les intersections de deux sous-groupes maximaux distincts (s'il en existe), soit I = H ∩ K d'ordre maximum. C'est un sous-groupe propre du groupe nilpotent H donc l'inclusion de I dans le normalisateur N_H(I) est stricte. Par maximalité de |I|, le seul sous-groupe maximal de G contenant N_H(I) est donc H. De même, K est le seul sous-groupe maximal contenant N_K(I). Le sous-groupe N_G(I), qui contient à la fois N_H(I) et N_K(I), n'est donc inclus dans aucun sous-groupe maximal, c'est-à-dire qu'il est égal à G, ou encore, que I est normal.

Si G est simple, on déduit que |I| = 1 (ou alors, G n'a qu'un sous-groupe maximal). On peut donc appliquer le lemme 1 : l'un des sous-groupes maximaux de G est normal. Comme G est supposé non cyclique, ce sous-groupe n'est pas trivial, ce qui contredit la simplicité de G.

Tout p-groupe fini est nilpotent. Supposons que |G| a au moins trois diviseurs premiers. Puisque (d'après le théorème de Schmidt) G est résoluble, il possède un sous-groupe normal H d'indice premier p. Comme H est un sous-groupe propre de G, il est nilpotent. Ses sous-groupes de Sylow sont par conséquent (pleinement) caractéristiques dans H donc normaux dans G. Choisissons dans G, pour chaque diviseur premier q de |G|, un q-Sylow P_q. D'après ce qui précède, pour tout q ≠ p, P_q est normal dans G. Comme chaque P_pP_q (pour q ≠ p) est nilpotent (car propre dans G), P_p est centralisé par tous les P_q si bien qu'il est, comme eux, normal dans G. Par conséquent, G est nilpotent.

Soit n un entier dont la décomposition en facteurs premiers ne vérifie pas la condition de l'énoncé. Alors, n est multiple d'un entier de la forme p^kq avec p et q premiers distincts, k ≥ 1 et p^k ≡ 1 mod q. On construit facilement un groupe non nilpotent d'ordre p^kq, comme produit semi-direct de GL(k, F_p) par ℤ/qℤ et l'on en déduit un groupe non nilpotent d'ordre n, par produit direct par un groupe arbitraire d'ordre adéquat.

Réciproquement, supposons que la décomposition en facteurs premiers de n vérifie la condition de l'énoncé et montrons que tout groupe G d'ordre n est nilpotent. On procède par récurrence bien fondée, en supposant que l'énoncé est vrai pour tous les ordres < n. D'après la section précédente, G est alors nilpotent ou n a exactement deux facteurs premiers p et q. Mais dans ce second cas, d'après l'hypothèse sur la décomposition en facteurs premiers de n et le 3^e théorème de Sylow, G a un p-Sylow et un q-Sylow uniques donc normaux, si bien que G est leur produit direct donc, là encore, G est nilpotent.

Tout groupe d'ordre n (donc nilpotent) est produit direct de ses sous-groupes de Sylow. Sa classe de nilpotence est donc le maximum des leurs.

Pour tout p premier :

• tout groupe d'ordre d'ordre p^k avec k ≤ c + 1 est de classe de nilpotence au plus c ;
• réciproquement, pour tout k ≥ c + 2, il existe[11] des groupes d'ordre p^k dont la classe de nilpotence est strictement supérieure à c.