Théorème de Niemytzki-Tychonoff

Définissons d' comme le sup des écarts e sur X qui sont majorés par d et qui vérifient en outre

${\displaystyle \forall n\geq 1,\forall p,q\geq n,e(x_{p},x_{q})\leq 1/n}$.

Par construction d' est un écart, l'application identité de (X, d) dans (X, d') est continue, et la suite (x_n) est de Cauchy pour d'. Il reste à prouver que l'application identité de (X, d') dans (X, d) est continue (ce qui justifiera du même coup que (X, d') est séparé donc que d' est bien une distance et pas seulement un écart).

Pour prouver la continuité de l'application identité de (X, d') dans (X, d) en un point quelconque a de X, remarquons d'abord que — le point a n'étant pas valeur d'adhérence de (x_n) — il existe un ε₀ > 0 qui minore tous les d(x_n, a) à partir d'un certain rang.

Fixons un ε > 0, inférieur à ε₀. Il existe un entier N, que l'on peut choisir supérieur à 1/ε, vérifiant :

${\displaystyle \forall n>N,d(x_{n},a)\geq \varepsilon .}$

Considérons alors la fonction f définie sur X par${\displaystyle f(x)={\frac {\min(\varepsilon ,d(x,a))}{N\varepsilon }},}$ puis l'écart e défini par e(x,y) = |f(x) – f(y)|. Alors${\displaystyle e\leq {\frac {d}{N\varepsilon }}\leq d}$et pour tous entiers n supérieur ou égal à 1 et p, q supérieurs ou égaux à n on a :

• si n > N alors e(x_p, x_q) = 0,
• sinon, e(x_p, x_q) est majoré (comme tous les e(x,y)) par 1/N donc par 1/n.

L'écart e fait donc partie des écarts dont d' est le sup, si bien que pour tout x tel que d'(x, a) < 1/N on a 1/N > e(x, a) = f(x), donc min(ε, d(x, a)) < ε, donc d(x, a) < ε, ce qui termine la preuve de la continuité au point a de l'application identité de (X, d') dans (X, d).

L'application s définie sur X par ${\displaystyle s(x)=\inf _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {1}{n}}+d(x,x_{n})}$ est continue (car 1-lipschitzienne par rapport à d) et strictement positive (car aucun x n'est valeur d'adhérence de (x_n)).

À équivalence près (topologique et même uniforme), on peut toujours supposer que d était majorée par 2. L'application d' définie par

${\displaystyle d'(x,y)=\min(s(x),s(y))d(x,y)+|s(x)-s(y)|}$

est alors une distance sur X et (d'après les deux propriétés de s) elle est topologiquement équivalente à d. De plus, puisque s(x_n) → 0, la suite (x_n) est de Cauchy pour d'[9].