Théorème de Millman

Illustration du théorème de Millman

Dans un réseau électrique de branches en parallèle, comprenant chacune un générateur de tension parfait en série avec un élément linéaire, la tension aux bornes des branches est égale à la somme des forces électromotrices respectivement multipliées par l'admittance de la branche, le tout divisé par la somme des admittances.

On appelle ${\displaystyle Y_{k}}$ l'admittance correspondant à l'inverse de l'impédance ${\displaystyle Z_{k}}$ (${\displaystyle Y_{k}={\frac {1}{Z_{k}}}}$).

${\displaystyle V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}E_{k}.Y_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}{\frac {E_{k}}{Z_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}}}}$. Avec ${\displaystyle \alpha _{k}=\pm 1}$ selon le sens du courant .

Dans le cas particulier d'un réseau électrique composé de résistances :

${\displaystyle V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}E_{k}.G_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}G_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\alpha _{k}{\frac {E_{k}}{R_{k}}}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}}$. Avec ${\displaystyle \alpha _{k}=\pm 1}$ selon le sens du courant .

Avec G, la conductance.

On peut aussi le généraliser avec des générateurs de courants. S'il y a, toujours en parallèle, des courants ${\displaystyle Ig_{k}}$ (par exemple les courants provenant des générateurs de courant) connus injectés vers le même point M, alors on peut écrire :

${\displaystyle V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.G_{k}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}G_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{R_{k}}}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}}$

On remarque que la présence de générateurs de courants ne modifie pas le dénominateur.

Démonstration

On considère le schéma ci-dessus..

Comme les branches (Zk ; Ek) sont en parallèle, on travaille avec les admittances ${\displaystyle Y_{k}={\frac {1}{Z_{k}}}}$, ce qui simplifie les calculs. Pour chaque branche (source de tension et impédance), on obtient, d'après la loi d'ohm : ${\displaystyle I_{k}=Y_{k}\times (E_{k}-V_{M})}$ (chaque courant est ainsi orienté vers le haut ; vers le point M)

Ensuite, d'après la loi des nœuds, on a : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}I_{k}=0}$

Si on généralise avec des générateurs Ig de courants, on commence le même calcul ainsi : ${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}I_{k}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}=0}$

soit :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}\times (E_{k}-V_{M})+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}=0}$

en développant :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}\times V_{M}=\sum _{k=1}^{N}Y_{k}\times E_{k}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}}$

d'où :

${\displaystyle V_{M}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}E_{k}.Y_{k}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}Y_{k}}}={\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {E_{k}}{Z_{k}}}+\sum _{k=1}^{P}Ig_{k}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{Z_{k}}}}}}$

Une démonstration peut en être faite rapidement en utilisant le théorème de Norton : Chaque branche peut être transformée en son générateur de Norton équivalent. La somme des intensités des courants débités par les générateurs de courant traverse alors une conductance égale à la somme des conductances de chaque branche. L’application de la loi d'ohm donne alors la tension à vide aux bornes du dipôle soit la relation donnée par le théorème de Millman.

Exemple d'application du théorème de Millman

• Sur la figure ci-contre, la tension ${\displaystyle V_{ab}}$ (ou ${\displaystyle V_{M}}$ ), a été calculée en suivant la formule du théorème de Millman:

${\displaystyle V_{ab}={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{2}}}+{\dfrac {V_{3}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {{\dfrac {10}{5}}+{\dfrac {0}{8}}+{\dfrac {-12}{3}}}{{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{8}}+{\dfrac {1}{3}}}}=-{\dfrac {240}{79}}\approx {}-3V}$

• Le signe négatif signifie que la tension au point ${\displaystyle a}$ est négative par rapport à la masse commune.

Autre exemple: Il n'est pas nécessaire que les sources de tension soient parfaites, celles-ci peuvent inclure des résistances même de forte valeur.

générateurs réels

${\displaystyle V={\frac {{\dfrac {E_{1}}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {E_{2}}{R_{3}+R_{4}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}+R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}+R_{4}}}}}}$

${\displaystyle V={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}}$

Ce théorème s'utilise avantageusement si ${\displaystyle V_{M}}$ est nulle (par exemple, la tension différentielle d'un AOP en régime linéaire), le dénominateur n'a pas besoin alors d'être formulé.

• (en) Millman's Theorem (All about circuits)