Théorème de Kutta-Jukowski

On calcule tout d'abord la force linéique ${\displaystyle {\vec {F}}}$ (par unité de longueur). Par abus de langage, dans ce qui suit, on parlera simplement de force[1].

La force totale le long du bord du cylindre C de direction ${\displaystyle {\vec {k}}}$ est :

${\displaystyle {\vec {F}}=-\oint _{C}p{\vec {n}}\,ds,}$

où p est la pression e, s est l'abscisse curviligne le long du bord du cylindre, ${\displaystyle {\vec {n}}\,}$ est le vecteur unité normal au cylindre. Soit ${\displaystyle \phi }$ l'angle entre la normale ${\displaystyle {\vec {n}}}$ et la verticale ${\displaystyle {\vec {k}}}$. On définit donc :

${\displaystyle {\vec {n}}=-\sin \phi {\vec {i}}+\cos \phi {\vec {j}}}$

Le vecteur tangent au contour C est

${\displaystyle {\vec {t}}=\cos \phi {\vec {i}}+\sin \phi {\vec {j}}}$

Les composants de la force suivant x et y deviennent :

${\displaystyle F_{x}=-\oint _{C}p\sin \phi \,ds\quad ,\qquad F_{y}=\oint _{C}p\cos \phi \,ds.}$

Maintenant entre en compte l'astuce principale. Le plan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ est isomorphe au plan complexe ${\displaystyle \mathbb {C} }$. On peut donc remplacer le vecteur ${\displaystyle {\vec {F}}}$ par le nombre complexe ${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}}$. De même tout vecteur est remplacé par un nombre complexe. La force complexe devient donc :

${\displaystyle F=F_{x}+iF_{y}=-\oint _{C}(-)p(-\sin \phi +i\cos \phi )\,ds.}$

L'étape suivante consiste à considérer le complexe conjugué et effectuer quelques manipulations.

${\displaystyle {\bar {F}}=-\oint _{C}p(\sin \phi +i\cos \phi )\,ds=-i\oint _{C}p(\cos \phi -i\sin \phi )\,ds=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }\,ds.}$

On exprime maintenant ${\displaystyle ds{\vec {t}}=d{\vec {z}}=dx{\vec {i}}+dy{\vec {j}}}$.

Dans le plan complexe, on a donc :

${\displaystyle ds\ t=dz}$

On a ${\displaystyle t=e^{i\phi }}$

Donc,

${\displaystyle ds=e^{-i\phi }\ dz}$.

Donc,

${\displaystyle dz=e^{i\phi }\ ds}$

Donc,

${\displaystyle d{\bar {z}}=e^{-i\phi }ds}$

Donc,

${\displaystyle ds=e^{i\phi }d{\bar {z}}}$.

On substitue et donc :

${\displaystyle {\bar {F}}=-i\oint _{C}pe^{-i\phi }e^{i\phi }\,d{\bar {z}}=-i\oint _{C}p\,d{\bar {z}}.}$

Finalement,

${\displaystyle F=i\oint _{C}p\,dz}$

On utilise le théorème de Bernoulli où ${\displaystyle p_{\infty }}$ est la pression à l'infini et ${\displaystyle v\in \mathbb {C} }$ est la vitesse :

${\displaystyle p=p_{\infty }-{\frac {\rho |v|^{2}}{2}}.}$

On remarque que ${\displaystyle \oint _{C}dz=0}$

Donc,

${\displaystyle F=i\oint _{C}\left(p_{\infty }-{1 \over 2}\rho |v|^{2}\right)\,dz=0-{i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}dz}$

Donc,

${\displaystyle {\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}d{\bar {z}}}$

On a : ${\displaystyle dz=t\ ds}$

Donc, ${\displaystyle d{\bar {z}}={\bar {t}}\ ds={1 \over t}ds={1 \over t}{dz \over t}={1 \over t^{2}}dz}$

On substitue dans ${\displaystyle {\bar {F}}}$ et donc :

${\displaystyle {\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}|v|^{2}{1 \over t^{2}}dz}$

On définit : ${\displaystyle w={\bar {v}}={|v| \over t}={|w| \over t}}$

Donc, ${\displaystyle |w|=wt}$. On substitue.

${\displaystyle {\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}w^{2}t^{2}{1 \over t^{2}}dz}$

Et donc,

${\displaystyle {\bar {F}}={i \over 2}\rho \oint _{C}w^{2}dz}$

Le fluide est incompressible (subsonique) et donc :

${\displaystyle {\vec {\nabla }}{\vec {v}}=0}$

Donc,

${\displaystyle {\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}=0}$

Et donc en remplaçant v par w,

${\displaystyle {\partial w_{x} \over \partial x}-{\partial w_{y} \over \partial y}=0}$

Et donc, la fonction ${\displaystyle z\to w(z)}$ est holomorphe.

On peut donc représenter cette fonction par sa série de Laurent sous la forme :

${\displaystyle w(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}{1 \over z^{n}}}$

On note que le champ w est fini et donc ${\displaystyle \forall n<0\quad a_{n}=0}$

On a donc :

${\displaystyle w(z)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}{1 \over z^{n}}}$

On calcule a₁ en utilisant le théorème des résidus.

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}w\,dz.}$

On a :

${\displaystyle \oint _{C}w(z)\,dz=\oint _{C}(v_{x}-iv_{y})(dx+idy)=\oint _{C}(v_{x}\,dx+v_{y}\,dy)+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx)=\oint _{C}{\vec {v}}\cdot {\vec {t}}ds+i\oint _{C}(v_{x}\,dy-v_{y}\,dx).}$

La première intégrale est la circulation ${\displaystyle \Gamma }$. Il ne reste plus qu'à montrer que la seconde intégrale est nulle. La fonction v est la dérivée d'un potentiel complexe ${\displaystyle \psi }$.

En effet, le vecteur vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$ est orthogonal au vecteur normal ${\displaystyle {\vec {n}}}$ qui est parallèle à ${\displaystyle (dy,-dx)}$ et donc la seconde intégrale est nulle. Donc,

${\displaystyle a_{1}={\Gamma \over 2i\pi }}$

On a

${\displaystyle w^{2}=a_{0}^{2}+2a_{0}a_{1}{1 \over z}+\ldots }$

On utilise à nouveau le théorème des résidus.

${\displaystyle 2a_{0}a_{1}={1 \over 2i\pi }\oint _{C}w^{2}dz}$

Donc,

${\displaystyle \oint _{C}w^{2}dz=4i\pi a_{0}a_{1}}$

Donc, ${\displaystyle {\bar {F}}={i \over 2}\rho 4i\pi a_{0}a_{1}}$

On a : ${\displaystyle a_{0}=w_{\infty }}$

Donc, ${\displaystyle {\bar {F}}=\rho 2i^{2}\pi w_{\infty }{\Gamma \over 2i\pi }}$

Donc, ${\displaystyle {\bar {F}}=i\rho w_{\infty }\Gamma }$

Et finalement : ${\displaystyle F=-i\rho v_{\infty }\Gamma }$

La formule de Kutta–Jukowski est la suivante :

${\displaystyle F_{x}=\rho \Gamma v_{y\infty }\quad ,\qquad F_{y}=-\rho \Gamma v_{x\infty }.}$