Théorème de Grunwald-Wang

Grunwald, un étudiant de Hasse, avait donné une « preuve » de l'énoncé erroné[1] selon lequel un élément d'un corps de nombres serait une puissance n-ième s'il en est une localement presque partout. Whaples en avait donné une autre « preuve »[4]. Cependant, Wang découvrit le contre-exemple suivant[2] : 16 est une puissance 8^e p-adique pour tout premier impair p, mais n'est pas une puissance 8^e rationnelle ni 2-adique. Dans sa thèse[5] dirigée par Artin, Wang énonça et démontra la formulation correcte de l'assertion de Grunwald, en précisant les rares cas où elle était fausse. Ce résultat est à présent connu sous le nom de théorème de Grunwald-Wang.

L'affirmation originelle de Grunwald, selon laquelle un élément qui est une puissance n-ième presque partout localement est toujours une puissance n-ième globale, peut être mise en défaut de deux façons, dont la première est le contre-exemple de Wang :

Ce contre-exemple montre qu'on ne peut pas toujours trouver une extension cyclique de degré donné, avec ramifications prescrites sur un ensemble fini de places :Il n'existe pas d'extension cyclique K/ℚ de degré 8 dans laquelle le premier 2 est totalement inerte (c'est-à-dire telle que K₂/ℚ₂ soit non ramifiée de degré 8).

Pour tout s ≥ 2, soit ${\displaystyle \eta _{s}:=\exp \left({\frac {2\pi {\rm {i}}}{2^{s}}}\right)+\exp \left(-{\frac {2\pi {\rm {i}}}{2^{s}}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi }{2^{s}}}\right).}$

On peut remarquer que le corps cyclotomique d'indice 2^s est ℚ_2^s = ℚ(i, η_s).

Un corps est dit s-spécial s'il contient η_s mais ne contient ni i, ni η_s+1, ni iη_s+1.

Par exemple — puisque η₂ = 0 et η₃ = √2 — un corps est 2-spécial s'il ne contient ni √–1, ni √2, ni √–2.

Soient K un corps de nombres, n un entier naturel et S un ensemble fini de premiers de K. Posons ${\displaystyle K(n,S):=\{x\in K\mid \forall p\notin S\quad x\in K_{p}^{n}\}.}$

Le théorème de Grunwald-Wang affirme que ${\displaystyle K(n,S)=K^{n}}$ sauf dans le cas spécial, c'est-à-dire sauf si les conditions suivantes sont vraies toutes les deux :

1. K est s-spécial pour un s tel que 2^s+1 divise n ;
2. S contient l'ensemble spécial S₀ constitué des premiers p (nécessairement 2-adiques) tels que K_p est s-spécial.

De plus, dans le cas spécial, le « défaut » du principe de Hasse est fini : le noyau de ${\displaystyle K^{\times }/n\to \prod _{p}K_{p}^{\times }/n}$ n'a que deux éléments.

Pour le corps ℚ, 2-spécial avec S₀ = {2}, le cas spécial a lieu lorsque n est divisible par 8 et S contient 2. Cela explique le contre-exemple de Wang et montre qu'il est minimal. On voit aussi qu'un rationnel est une puissance n-ième si c'est une puissance n-ième p-adique pour tout p[7].

Le corps ℚ(√7) est 2-spécial aussi mais avec S₀ = ⌀, ce qui explique l'autre contre-exemple ci-dessus.

• (en) « Proving that an integer is the n th power », sur MathStackExchange
• (en) « Does there exist a non-square number which is the quadratic residue of every prime? », sur MathOverflow