Théorème de Gerschgorin

Soit A une matrice complexe de taille n×n, de terme général (a_ij). Pour chaque indice de ligne i entre 1 et n on introduit le disque de Gerschgorin correspondant

${\displaystyle D_{i}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{ii}-z|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\right\}=D(a_{ii},R_{i})~,}$

qui constitue effectivement un disque dans le plan complexe, de rayon R_i = Σ_{j ≠ i} | a_ij |.

En appliquant le théorème à la matrice transposée de A, une nouvelle information est donnée sur la localisation des valeurs propres : elles se trouvent dans la réunion des disques de Gerschgorin associés aux colonnes

${\displaystyle {\tilde {D}}_{j}=\left\{z\in \mathbb {C} ,|a_{jj}-z|\leq \sum _{i\neq j}|a_{ij}|\right\}=D(a_{jj},{\tilde {R}}_{j})~.}$

Soient λ une valeur propre de A et x = (x₁, ..., x_n) un vecteur propre associé. Pour i compris entre 1 et n, on a

${\displaystyle (\lambda -a_{ii})x_{i}=\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}$

Choisissons un indice i pour lequel le module de x_i est maximal. Puisque x est un vecteur propre, |x_i| est non nul et il est possible de former le quotient

${\displaystyle |a_{ii}-\lambda |=\left|\sum _{j\neq i}a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|a_{ij}{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|}$

Une variante de démonstration est de remarquer que 0 est valeur propre de ${\displaystyle A-\lambda I_{n}}$ et d'utiliser un lemme d'Hadamard.