Théorème de Chevalley-Warning

On considère des polynômes non nuls P_j(x₁, … , x_n) de degrés respectifs d_j, à coefficients dans un corps fini F de caractéristique p. Si

${\displaystyle n>\sum d_{j}}$

alors :

• (théorème de Chevalley-Warning[4]) le nombre de racines communes des P_j dans Fⁿ est divisible par p,
• (théorème de Chevalley) en particulier si (0, … , 0) est une racine commune, il en existe au moins une autre.

L'hypothèse est optimale au sens où sur tout corps fini F et pour tout n, il existe des polynômes en n variables dont la somme des degrés vaut n et dont (0, … , 0) est la seule racine commune, par exemple les n polynômes x₁, … , x_n, ou encore le polynôme de degré n donné par la norme de x₁a₁ + + x_na_n, où les a_k forment une base de l'extension de degré n de F.

Le théorème de Chevalley se reformule en disant que le rang de Tsen (en) de tout corps fini est égal à 1.

En notant q le cardinal de F on a (si q ≠ 2), pour tout entier naturel i < q – 1 :

${\displaystyle \sum _{x\in F}x^{i}=0}$

(même pour i = 0, avec la convention 0⁰ = 1 adaptée à ce contexte) si bien que pour tout polynôme P(x₁, … , x_n) de degré < n(q – 1),

${\displaystyle \sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in F^{n}}P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

(en effet, par linéarité, il suffit de le vérifier sur la base des monômes).

Cela s'applique au polynôme

${\displaystyle P=\prod (1-P_{j}^{q-1})}$

puisque son degré est

${\displaystyle \sum d_{j}(q-1)<n(q-1).}$

Or ce polynôme vaut 1 en chaque racine commune des P_j et 0 ailleurs. Le nombre de racines communes est donc nul modulo p.

Dans le théorème de Chevalley, le cas d'une famille de polynômes réduite à un polynôme homogène se traduit par : tout corps fini est quasi-algébriquement clos, fait qu'Artin avait conjecturé en 1935. La motivation de cette conjecture était la remarque que le groupe de Brauer d'un corps quasi-algébriquement clos est trivial, jointe au fait que celui d'un corps fini aussi, d'après le théorème de Wedderburn.

Le théorème d'Ax-Katz, démontré par James Ax dans le cas d'un seul polynôme[5] puis par Nicholas Katz dans le cas général[6], assure plus précisément que le nombre de racines communes des P_j est divisible par q^b (q désignant encore le cardinal du corps F), où b est la partie entière par excès de

${\displaystyle {\frac {n-\sum d_{j}}{\max d_{j}}}.}$

Ce résultat est optimal au sens où pour tous F, n et d_j, il existe des P_j de degrés d_j pour lesquels le nombre de racines communes est q^b[6].

Il a une interprétation en cohomologie étale, comme résultat de divisibilité sur les inverses des zéros et pôles de la fonction zêta locale : la même puissance de q divise chacun de ces entiers algébriques.

• Nullstellensatz combinatoire
• Théorème de Chevalley (en)