Théorème de Cauchy-Hadamard

Le rayon de convergence R d'une série entière à coefficients complexes

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

est donné par :

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|a_{n}|^{1/n}}$,

où lim sup désigne la limite supérieure.

En particulier, si la suite (|a_n|^1/n) est non bornée alors R = 0 – c'est-à-dire que la série diverge partout ailleurs qu'en 0 – et si cette suite converge vers 0 alors R = +∞ – c'est-à-dire que la série converge sur le plan complexe tout entier.

Démonstration

D'après la règle de Cauchy, la série converge absolument dès que

${\displaystyle 1>\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}z^{n}|}}=|z|\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

et diverge grossièrement dès que

${\displaystyle 1<|z|\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$.

(Cette démonstration vaut même dans les deux cas extrêmes mentionnés ci-dessus, avec les conventions usuelles sur les produits ou quotients par 0 ou par +∞.)

Si α est un multi-indice, c'est-à-dire un n-uplet d'entiers naturels, notons |α| = α₁ + … + α_n. Alors, pour la série entière multidimensionnelle

${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }z^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}z_{1}^{\alpha _{1}}\ldots z_{n}^{\alpha _{n}}}$,

D(0, ρ) (où ρ est un n-uplet de rayons) est un polydisque maximal de convergence si et seulement si[5] :

${\displaystyle \lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$.