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Théorème de Beatty

Le théorème de Beatty est un théorème d'arithmétique publié en 1926 par le mathématicien canadien Samuel Beatty (mais déjà mentionné par Lord Rayleigh en 1894) qui donne une condition nécessaire et suffisante sur deux réels pour que les deux suites de Beatty associées partitionnent *.

Énoncé

Il affirme l'équivalence des deux points suivants, pour deux nombres réels et strictement positifs :

  • Les nombres et sont irrationnels et vérifient
  • Les deux suites d'entiers et , dites « suites de Beatty », forment une partition de l'ensemble ℕ*[1].

Ici, la fonction E désigne la fonction partie entière.

Ce résultat ne se généralise pas : il est impossible de partitionner ℕ* avec trois suites ou plus de cette forme[2]. Une question plus générale est la conjecture de Fraenkel[3].

Exemple

L'un des premiers exemples connus a été découvert dès 1907 par le mathématicien hollandais Wythoff, indépendamment du théorème de Beatty. Pour le nombre d'or, nous avons :

Les deux suites obtenues sont alors :

  • , n > 0 : 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, ... suite A000201 de l'OEIS
  • , n > 0 : 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, ... suite A001950 de l'OEIS

Les couples apparaissent dans la résolution du jeu de Wythoff et caractérisent les positions à partir desquelles le joueur qui a le trait ne peut pas gagner.

Références

  1. Voir par exemple (en) Ivan Morton Niven, Diophantine Approximations, Dover, (1re éd. 1963) (lire en ligne), p. 34 (Theorem 3.7) ou (en) Aviezri Fraenkel, « Complementary systems of integers », Amer. Math. Monthly, vol. 84, no 2, , p. 114-115 (lire en ligne).
  2. Voir par exemple Niven 2008 (Theorem 3.14), Fraenkel 1977 ou (en) R. L. Graham, « Complementary systems of integers », Amer. Math. Monthly, vol. 70, no 4, , p. 407-409 (lire en ligne).
  3. (en) Robert Tijdeman, « Fraenkel's conjecture for six sequences », Discrete Math., vol. 222, , p. 223-234 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Ouvrages

  • Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas, Exercices de mathématiques, oraux X-ENS. Algèbre 1, Cassini
  • (en) Ross Honsberger (en), Ingenuity in Mathematics, MAA, , « Essay 12: Complementary Sequences », p. 93-110
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