Énoncé
Notons
pour
et
pour
, il existe alors une constante
telle que
Notons que
est fini pour tout
. En effet, d'après l'estimation
où
désigne la constante d'Euler-Mascheroni, on a
dès lors que
donc
.
Démonstration
Dans toute la suite, on désigne par
un nombre complexe, sa partie réelle et sa partie imaginaire sont notées respectivement
et
.
Série de Dirichlet associée
La série
converge absolument sur le demi-plan complexe
d'après l'inégalité précédente. Notons
la série de Dirichlet associée à
, la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets :
, on en déduit que le produit eulérien de
s'écrit
où dans le produit
parcourt l'ensemble des nombres premiers.
En utilisant le produit eulérien de la fonction
, on a
pour
où le produit
est défini par
Notons que le produit définissant
est absolument convergent dans le demi-plan complexe
d'après l'inégalité
Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction
l'égalité
.
Majoration du produit G(s)
On se place ici dans le domaine défini par
et
. On a d'après l'inégalité précédente
D'une part
dès lors que
donc
d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev,
de sorte que
. Il existe ainsi une constante
telle que
.
Développement asymptotique de Φ
D'après la formule de Perron (voir Remarques)
pour tout
où l'intégrale est semi-convergente pour
non entier et converge en valeur principale pour
entier. On choisit
et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe
. On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points
pour une constante convenable
, celle-ci est
pour une constante
d'après la majoration
(voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :
De la croissance de
on en déduit que
pour tout
. En choisissant
et en remplaçant
par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :
pour une constante
.
Corollaire
D'après la relation
on a
.
Remarques
On pose
lorsque
et
lorsque
, on a alors d'après la formule de Perron
pour tout
où
désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet
. On en déduit que
et
d'où
pour tout
et
.
Majoration de la norme du logarithme ζ
On a la relation
.
Lemme
Il existe une constante
telle que
ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par
(voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial
de
vérifie l'inégalité
. Cela implique la minoration
où
parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de
, dans le domaine du plan complexe défini par
et
. En effet, si
est un zéro non trivial, alors
- si
, alors en posant :={\frac {2|s-\rho |}{\rho }}\geqslant 1}
,
quitte à diminuer
.
- si
, alors
d'où
et
.
Le produit de Hadamard de
fournit
où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de
. On en déduit l'existence d'une constante
telle que
sur le domaine
et
.
Démonstration de la majoration
On se place dorénavant dans le domaine défini par
et
. Posons :={\frac {c}{\ln \tau }}}
et
, alors pour tout
dans le disque
, le point
vérifie
et
donc
d'après le lemme. Posons
, alors
pour tout
dans le disque
. Sachant que
, le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration
On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de
:
où
désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que
. On peut finalement conclure :
et
d'où finalement
dans le domaine du plan complexe défini par
et
.