Théorème de Bateman

La série ${\displaystyle \sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}}$ converge absolument sur le demi-plan complexe ${\displaystyle \sigma >1}$ d'après l'inégalité précédente. Notons ${\displaystyle F}$ la série de Dirichlet associée à ${\displaystyle a_{n}}$, la sommabilité permet d'effectuer une sommation par paquets : ${\displaystyle F(s)=\sum _{m\geqslant 1}{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}}$, on en déduit que le produit eulérien de ${\displaystyle F}$ s'écrit

${\displaystyle F(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}(1-p^{-s})}}\right)}$

où dans le produit ${\displaystyle p}$ parcourt l'ensemble des nombres premiers.

En utilisant le produit eulérien de la fonction ${\displaystyle \zeta }$, on a ${\displaystyle F(s)=\zeta (s)G(s)}$ pour ${\displaystyle \sigma >1}$ où le produit ${\displaystyle G(s)}$ est défini par

${\displaystyle G(s)=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}$

Notons que le produit définissant ${\displaystyle G(s)}$ est absolument convergent dans le demi-plan complexe ${\displaystyle \sigma >0}$ d'après l'inégalité

${\displaystyle \left|{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right|\leqslant \min \left(2(p-1)^{-\sigma },|s|(p-1)^{-\sigma -1}\right)}$

Aussi, on obtient à l'aide du produit eulérien de la fonction ${\displaystyle \zeta }$ l'égalité ${\displaystyle G(1)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}}$.

On se place ici dans le domaine défini par ${\displaystyle |\tau |\geqslant 2}$ et ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {1}{\ln(2|\tau |)}}}$. On a d'après l'inégalité précédente

${\displaystyle \ln |G(s)|\leqslant 4\sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}+(2+|\tau |)\sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}+{\mathcal {O}}(1)}$

D'une part ${\displaystyle {\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll {\frac {1}{p}}}$ dès lors que ${\displaystyle p\leqslant 2|\tau |}$ donc ${\displaystyle \sum _{p\leqslant 2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma }}}\ll \ln \ln(2|\tau |)}$ d'après les estimations de Mertens. D'autre part, grâce à une sommation d'Abel et aux estimations de Tchebychev, ${\displaystyle \sum _{p>2|\tau |}{\frac {1}{p^{\sigma +1}}}\ll {\frac {\ln \ln(2|\tau |)}{|\tau |}}}$ de sorte que ${\displaystyle \ln |G(s)|\ll \ln \ln(2|\tau |)}$. Il existe ainsi une constante ${\displaystyle A>0}$ telle que ${\displaystyle G(s)\ll (\ln |\tau |)^{A}}$.

D'après la formule de Perron (voir Remarques)

${\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }\zeta (s)G(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}}$

pour tout ${\displaystyle \kappa >1}$ où l'intégrale est semi-convergente pour ${\displaystyle x}$ non entier et converge en valeur principale pour ${\displaystyle x}$ entier. On choisit ${\displaystyle \kappa =1+{\frac {1}{\ln x}}}$ et on évalue l'intégrale en déformant la droite d'intégration, que l'on remplace par la courbe ${\displaystyle \sigma =1-{\frac {1}{\ln \max(4,2|\tau |)}}}$. On scinde l'intégrale sur le contour déformé aux points ${\displaystyle \tau =\pm e^{-c{\sqrt {\ln x}}}}$ pour une constante convenable ${\displaystyle c}$, celle-ci est ${\displaystyle \ll x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}}$ pour une constante ${\displaystyle c_{0}>0}$ d'après la majoration ${\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}$ (voir Remarques). Le théorème des résidus fournit alors le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt={\frac {G(1)}{2}}x^{2}+{\mathcal {O}}\left(x^{2}e^{-c_{0}{\sqrt {\ln x}}}\right)}$

De la croissance de ${\displaystyle \Phi }$ on en déduit que

${\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x-h}^{x}\Phi (t)dt\leqslant \Phi (x)\leqslant {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\Phi (t)dt}$

pour tout ${\displaystyle 0<h\leqslant x}$. En choisissant ${\displaystyle h=xe^{-{\frac {c_{0}}{2}}{\sqrt {\ln x}}}}$ et en remplaçant ${\displaystyle G(1)}$ par sa valeur on en déduit le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}x+{\mathcal {O}}\left(xe^{-c{\sqrt {\ln x}}}\right)}$

pour une constante ${\displaystyle c>0}$.

D'après la relation ${\displaystyle a_{n}=\Phi (n)-\Phi (n-1)}$ on a ${\displaystyle a_{n}\ll ne^{-c{\sqrt {\ln n}}}}$.

On pose ${\displaystyle a_{x}=a_{n}}$ lorsque ${\displaystyle x=n\in \mathbb {N} }$ et ${\displaystyle a_{x}=0}$ lorsque ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {N} }$, on a alors d'après la formule de Perron

${\displaystyle \sum _{n<x}a_{n}+{\frac {a_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s}{\frac {ds}{s}}}$

pour tout ${\displaystyle \kappa >\max(0,\sigma _{c})}$ où ${\displaystyle \sigma _{c}}$ désigne l'abscisse de convergence simple de la série de Dirichlet ${\displaystyle F}$. On en déduit que

${\displaystyle \sum _{n<x}na_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s+1}}}$   et  ${\displaystyle \sum _{n<x}xa_{n}+{\frac {xa_{x}}{2}}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s}}}$

d'où

${\displaystyle \int _{0}^{x}\Phi (t)dt=\sum _{n\leqslant x}(x-n)a_{n}={\frac {1}{2i\pi }}\int _{\kappa -i\infty }^{\kappa +i\infty }F(s)x^{s+1}{\frac {ds}{s(s+1)}}}$

pour tout ${\displaystyle \kappa >\max(0,\sigma _{c})}$ et ${\displaystyle x\geqslant 1}$.

On a la relation ${\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}$.

Il existe une constante ${\displaystyle c>0}$ telle que ${\displaystyle \zeta }$ ne possède aucun zéro dans la région du plan complexe défini par ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {8c}{\ln(2+|\tau |)}}}$ (voir l'article Histoire de la fonction zêta de Riemann). Ainsi tout zéro non trivial ${\displaystyle \beta +i\gamma }$ de ${\displaystyle \zeta }$ vérifie l'inégalité ${\displaystyle \beta <1-{\frac {8c}{\ln(2+|\gamma |)}}}$. Cela implique la minoration

${\displaystyle \min _{\rho }{\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)\geqslant 0}$

où ${\displaystyle \rho }$ parcourt l'ensemble des zéros non triviaux de ${\displaystyle \zeta }$, dans le domaine du plan complexe défini par ${\displaystyle \tau \geqslant 4}$ et ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}}$. En effet, si ${\displaystyle \rho }$ est un zéro non trivial, alors

• si ${\displaystyle |s-\rho |>{\frac {1}{2}}|\rho |}$, alors en posant ${\displaystyle \vartheta$ :={\frac {2|s-\rho |}{\rho }}\geqslant 1} ,

${\displaystyle {\text{Re}}\left({\frac {1}{\rho }}-{\frac {1}{s-\rho }}\right)={\frac {\beta }{|\rho |^{2}}}+{\frac {\sigma -\beta }{|s-\rho |^{2}}}={\frac {\vartheta ^{2}\beta -4(\sigma -\beta )}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant {\frac {4\sigma -3}{4|s-\rho |^{2}}}\geqslant 0}$ quitte à diminuer ${\displaystyle c}$.

• si ${\displaystyle |s-\rho |\leqslant {\frac {1}{2}}|\rho |}$, alors ${\displaystyle |\tau -\gamma |\leqslant {\frac {1}{2}}\left(|\gamma |+1\right)}$ d'où ${\displaystyle |\gamma |\leqslant 2|\tau |+2}$ et ${\displaystyle \beta <1-{\frac {8c}{\ln(2\tau +4)}}\leqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}\leqslant \sigma }$.

Le produit de Hadamard de ${\displaystyle \zeta }$ fournit

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\gamma -1-{\frac {1}{s-1}}-{\frac {\Gamma '\left(1+{\frac {s}{2}}\right)}{2\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}+\sum _{\rho }\left({\frac {1}{s-\rho }}+{\frac {1}{\rho }}\right)}$

où la somme s'étend sur tous les zéros non triviaux de ${\displaystyle \zeta }$. On en déduit l'existence d'une constante ${\displaystyle K>0}$ telle que ${\displaystyle -{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\leqslant K\ln \tau }$ sur le domaine ${\displaystyle \tau \geqslant 4}$ et ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau }}}$.

On se place dorénavant dans le domaine défini par ${\displaystyle \tau \geqslant 5}$ et ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln \tau }}}$. Posons ${\displaystyle \eta$ :={\frac {c}{\ln \tau }}} et ${\displaystyle s_{0}:=1+\eta +i\tau }$, alors pour tout ${\displaystyle w\in \mathbb {C} }$ dans le disque ${\displaystyle |w|\leqslant 4\eta }$, le point ${\displaystyle s_{0}+w=\sigma '+i\tau '}$ vérifie ${\displaystyle \tau '\geqslant 4}$ et ${\displaystyle \sigma '\geqslant 1-{\frac {4c}{\ln \tau '}}}$ donc

${\displaystyle -{\text{Re}}{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\leqslant 2K\ln \tau }$

d'après le lemme. Posons ${\displaystyle F(w):={\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}-{\frac {\zeta '(s_{0}+w)}{\zeta (s_{0}+w)}}}$, alors ${\displaystyle {\text{Re}}\,F(w)\leqslant 2K\ln \tau +\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|}$ pour tout ${\displaystyle w}$ dans le disque ${\displaystyle |w|\leqslant 4\eta }$. Sachant que ${\displaystyle |s-s_{0}|\leqslant 2\eta }$, le lemme de Borel-Carathéodory implique la majoration

${\displaystyle \left|{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right|\leqslant 4K\ln \tau +3\left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|}$

On utilise enfin le développement en série de Dirichlet de ${\displaystyle {\frac {\zeta '}{\zeta }}}$ :

${\displaystyle \left|{\frac {\zeta '(s_{0})}{\zeta (s_{0})}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 1}{\frac {\Lambda (n)}{n^{1+\eta }}}={\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)\ll \ln \tau }$

où ${\displaystyle \Lambda }$ désigne la fonction de von Mangoldt, ce qui permet d'en déduire que ${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\ll \ln |\tau |}$. On peut finalement conclure :

${\displaystyle \log {\frac {\zeta (s)}{\zeta (s_{0})}}=\int _{s_{0}}^{s}{\frac {\zeta '(w)}{\zeta (w)}}dw\ll |s-s_{0}|\ln \tau \ll 1}$

et

${\displaystyle |\log \zeta (s_{0})|=\left|\sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{s_{0}}}}\right|\leqslant \sum _{n\geqslant 2}{\frac {\Lambda (n)}{(\ln n)n^{1+\eta }}}=\ln \zeta (1+\eta )=\ln {\frac {1}{\eta }}+{\mathcal {O}}(1)=\ln \ln \tau +{\mathcal {O}}(1)}$

d'où finalement ${\displaystyle |\log \zeta (s)|\leqslant \ln \ln |\tau |+{\mathcal {O}}(1)}$ dans le domaine du plan complexe défini par ${\displaystyle |\tau |\geqslant 3}$ et ${\displaystyle \sigma \geqslant 1-{\frac {c}{\ln |\tau |}}}$.