Théorème d'Erdős-Kaplansky

(Pour une démonstration détaillée, voir par exemple le lien externe ci-dessous). On utilisera l'axiome du choix (nécessaire d'emblée pour parler de dimension) et les propriétés des cardinaux vis-à-vis des opérations ensemblistes.

• On montre d'abord que E est isomorphe à l'anneau de polynômes ${\displaystyle K[(X_{i})_{i\in I}]}$, autrement dit, que la dimension (d'espace vectoriel) de cet anneau est non seulement, bien sûr, minorée par card(I), mais en fait, égale à ce cardinal. En effet, cet anneau est la réunion des ${\displaystyle K[(X_{i})_{i\in J}]}$ quand J parcourt l'ensemble ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(I)}$ des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension dénombrable, donc la dimension de leur réunion est majorée par ${\displaystyle {\rm {card}}({\mathfrak {F}}(I)\times \mathbb {N} )={\rm {card}}(I)}$.
• On en déduit que le dual de E est isomorphe à celui de ${\displaystyle K[(X_{i})_{i\in I}]}$. Or la dimension de ce dernier est minorée par card(K^I), car il contient une famille libre de formes linéaires indexée par K^I : la famille des applications d'évaluation f_a en chaque élément a = (a_i )_i de K^I, chacune étant définie par : f_a(P)=P(a).
• Par ailleurs, directement, E* est isomorphe à K^I (donc a même cardinal) et d'autre part, E* est de dimension inférieure ou égale à son cardinal (comme tout espace vectoriel).
• Finalement, ${\displaystyle {\rm {card}}(E^{*})={\rm {card}}(K^{I})\leq {\rm {dim}}(E^{*})\leq {\rm {card}}(E^{*})\ ,}$ce qui prouve le théorème.
• Par conséquent E n'est pas isomorphe à son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le théorème de Cantor.