Théorème d'Erdős-Anning

On ne peut plus conclure que les points sont alignés si l'on demande seulement que toutes leurs distances soient rationnelles. Par exemple sur le cercle unité, les points d'affixe e^ia (–π < a ≤ π) avec cos(a/2) et sin(a/2) rationnels, c'est-à-dire tan(a/4) rationnel, sont à distances rationnelles les uns des autres car |e^ia – e^ib| = 2|sin(^a⁄₂ – ^b⁄₂)|.

Plus généralement, un cercle contient un ensemble dense de points à distances rationnelles les uns des autres si et seulement si le carré de son rayon est rationnel[2].

Tout ensemble fini de points à distances rationnelles les uns des autres peut être transformé en un ensemble de points à distances mutuelles entières, par toute similitude dont le rapport est un dénominateur commun de ces distances rationnelles. Ceci permet de construire des ensembles finis arbitrairement grands de points non alignés à distances mutuelles entières, mais ce procédé ne s'adapte pas à un ensemble infini.

On ne sait pas s'il existe un ensemble dense de points du plan euclidien à distances mutuelles rationnelles[2].

Soit S un ensemble de points du plan à distances mutuelles entières, contenant trois points A, B, C non alignés, et notons b = d(A, B) et c = d(A, C). Montrons que S est fini, de cardinal inférieur ou égal à 4(b + 1)(c + 1). Pour tout point X de S, l'entier |d(A, X) – d(B, X)| est compris entre 0 et b d'après l'inégalité triangulaire. Pour chacun des b + 1 entiers k compris entre 0 et b, le lieu des points X tels que |d(A, X) – d(B, X)| = k est une hyperbole (éventuellement dégénérée (en)) de foyers A et B, et X appartient à l'une de ces b + 1 hyperboles. De même, X appartient à l'une des c + 1 hyperboles analogues de foyers A et C. Chaque paire d'hyperboles, dont l'une est dans la première famille et l'autre dans la seconde, ayant au plus 4 points d'intersection, S contient au plus 4(b + 1)(c + 1) points.

Un graphe d'Erdős-Diophante (en) est un ensemble maximal de points à distances mutuelles entières. On peut reformuler le théorème d'Erdős-Anning en disant qu'un tel ensemble, s'il est non aligné, est nécessairement fini.