Théorème d'Easton

Plus généralement, le théorème s'applique à n'importe quelle application G d'une partie de la classe des ordinaux vers elle-même telle que :

1. G est non-décroissante,
2. la cofinalité de ${\displaystyle \aleph _{G(\alpha )}}$ est plus grande que ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ quel que soit α (appartenant au domaine de G) ,
3. ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ est régulier quel que soit α appartenant au domaine de G ;

il affirme qu'alors il existe un modèle de ZFC tel que

${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{G(\alpha )}}$ quel que soit α (appartenant au domaine de G).

La démonstration utilise le forcing (avec une classe propre de conditions de forcing) sur un modèle de ZFC satisfaisant de plus l'hypothèse du continu généralisée[1].

Les deux premières conditions du théorème correspondent à des propriétés possédées par l'application ${\displaystyle G:\kappa \mapsto 2^{\kappa }}$, la seconde résultant du théorème de König.

Le théorème ne s'applique pas aux puissances de cardinaux singuliers ; dans le modèle construit par Easton, ceux-ci ont le plus petit cardinal compatible avec le fait que l’application ${\displaystyle \kappa \mapsto 2^{\kappa }}$ est non décroissante et que 2^κ est de cofinalité supérieure à κ.

Jack Silver a démontré qu’un cardinal singulier de cofinalité non dénombrable ne pouvait pas être le plus petit cardinal ne vérifiant pas l’hypothèse généralisée du continu[2], ce qui montre que le théorème d'Easton ne peut être étendu à la classe de tous les cardinaux. La théorie PCF (en) donne des résultats sur les valeurs possibles de la fonction ${\displaystyle \lambda \mapsto 2^{\lambda }}$ lorsque ${\displaystyle \lambda }$ est un cardinal singulier, et montre en particulier que, contrairement à ce qui se passe pour les cardinaux réguliers, ces valeurs dépendent fortement des valeurs qu’elle prend pour les cardinaux plus petits.

• Aleph (nombre)
• Beth (nombre)
• Théorème de König

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Easton's theorem » (voir la liste des auteurs).

• Jacques Stern, « Le problème des cardinaux singuliers », Séminaire Bourbaki, 1977
• (en) William Easton, « Powers of regular cardinals », Ann. Math. Logic, vol. 1, n^o 2,‎ 1970, p. 139–178 (DOI 10.1016/0003-4843(70)90012-4 )
• (en) Jack Silver, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), vol. 1, Montreal, Que., Canad. Math. Congress, 1975, 265–268 p. (MR 0429564), « On the singular cardinals problem »