Théorème binomial d'Abel

• La variante

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y-k)^{n-k}={\frac {(x+y)^{n}}{x}}}$

  est le cas particulier ${\displaystyle z=-1}$ du théorème.

  Réciproquement, quand on remplace ${\displaystyle x}$ par ${\displaystyle -{\frac {x}{z}}}$ et ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle -{\frac {y}{z}}}$, on retrouve le cas général.

• En remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y+n}$, on déduit de cette première variante[4] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(y+n-k)^{n-k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}}$.

  Réciproquement, la première variante se déduit de la deuxième en remplaçant ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-n}$.

  On peut de même remplacer ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-nz}$ dans le théorème.

• On peut bien sûr remplacer ${\displaystyle z}$ par ${\displaystyle -z}$ dans le théorème. Ceci, précédé d'un remplacement de ${\displaystyle y}$ par ${\displaystyle y-nz}$, donne comme théorème équivalent[5] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+kz)^{k-1}\left(y+(n-k)z\right)^{n-k}={\frac {(x+y+nz)^{n}}{x}}}$.

• En effectuant le changement d'indice ${\displaystyle j=n-k}$ dans le théorème et ses variantes, on en trouve de nouvelles. Par exemple, la deuxième variante ci-dessus devient[6] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+n-k)^{n-k-1}(y+k)^{k}={\frac {(x+y+n)^{n}}{x}}}$.

• Il est également possible de déduire la variante suivante[7] :

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x+k)^{k-1}(n-k+y)^{n-k-1}={\frac {x+y}{xy}}(x+y+n)^{n-1}}$.

Vérifions la première variante dans le cas ${\displaystyle n=2}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad {\binom {2}{0}}x^{-1}y^{2}+{\binom {2}{1}}(x+1)^{0}(y-1)^{1}+{\binom {2}{2}}(x+2)^{1}(y-2)^{0}&={\frac {y^{2}}{x}}+2(y-1)+x+2\\&={\frac {y^{2}}{x}}+2y+x\\&={\frac {(x+y)^{2}}{x}}.\end{aligned}}}$

Considérons les polynômes (à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$)

${\displaystyle P_{n}(Y):=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}X(X+k)^{k-1}(Y-k)^{n-k}\quad {\text{et}}\quad Q_{n}(Y):=(X+Y)^{n}}$

et démontrons, par récurrence sur ${\displaystyle n}$, que ${\displaystyle P_{n}=Q_{n}}$ pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

• On a bien ${\displaystyle P_{0}=1=Q_{0}}$.
• Supposons que pour un certain ${\displaystyle n>0}$, ${\displaystyle P_{n-1}=Q_{n-1}}$. Alors, les polynômes dérivés de ${\displaystyle P_{n}}$ et ${\displaystyle Q_{n}}$ sont égaux car${\displaystyle P'_{n}=nP_{n-1}=nQ_{n-1}=Q'_{n}}$.Par ailleurs, ${\displaystyle P_{n}(-X)=X\Delta _{1}^{n}[X^{n-1}]=0=Q_{n}(-X)}$. Par conséquent, ${\displaystyle P_{n}=Q_{n}.\quad \Box }$