Tenseur des contraintes de Maxwell

Force de Lorentz f (par unité de volume) exercée sur un volume élémentaire de charge en mouvement, de densité volumique ρ. La densité de courant J correspond au mouvement de la charge élémentaire dq associée au volume élémentaire dV.

La force de Lorentz peut être exprimée uniquement à partir de E et B, en usant de formules d'analyse vectorielle et des équations de Maxwell. La nouvelle expression obtenue se simplifie par la définition du tenseur des contraintes de Maxwell.

Les équations de Maxwell dans le vide exprimées en unités SI

Nom	Forme différentielle
Équation de Maxwell-Gauss	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$
Équation de Maxwell-Thomson	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$
Équation de Maxwell–Faraday (loi de l'induction)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Équation de Maxwell-Ampère	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

1. Commençons par la loi de la force de Lorentz

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

soit, par unité de volume,

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

2. Ensuite, notons que ρ et J peuvent être éliminés en utilisant les relations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère:

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} \,}$

3. On se sert de la définition du vecteur de Poynting ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {E} \times \mathbf {B} /\mu _{0}}$, dont on calcule la dérive par rapport au temps :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\,}$

ce qui permet de réécrire f sous la forme

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$

on rassemble les termes en E et B pour obtenir

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$

4. Il semble apparemment « manquer » le terme (∇ • B)B induit par la symétrie entre E et B, mais ce terme peut aisément être ajouté puisqu'il est en fait nul (loi de Maxwell-Thomson) :

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$

On élimine les rotationnels en utilisant une identité d'analyse vectorielle

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$

ce qui mène finalement à :

${\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$

5. On introduit, par définition, tenseur des contraintes de Maxwell

${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right),}$

et la densité d'impulsion électromagnétique

${\displaystyle \mathbf {S} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

ce qui amène à l'expression suivante de la densité volumique de force

${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$

Cette dernière relation s'interprète également comme la loi de conservation de l'impulsion en électrodynamique classique.

On remarque que l'on retrouve la même forme de loi de conservation dans le théorème de Poynting qui lui exprime la conservation de l'énergie électromagnétique.

En physique, le tenseur de Maxwell est le tenseur des contraintes du champ électromagnétique. Le tenseur s'écrit en unités SI :

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\epsilon _{0}E^{2}+{\tfrac {1}{\mu _{0}}}B^{2}}{\bigr )}\delta _{ij}}$,

où ε₀ est la permittivité du vide et μ₀ la perméabilité magnétique du vide, E est le champ électrique, B le champ magnétique et δ_ij le symbole de Kronecker. En unités Gaussienne, on trouve l'expression équivalente :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}(E^{2}+H^{2})\delta _{ij}\right)}$,

où H est l'excitation magnétique.

Une autre expression peut être obtenue à l'aide des notations tensorielles dyadiques :

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\mathbf {\sigma } }}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

où ⊗ est le produit dyadique, et ${\displaystyle \mathbb {I} }$ le tenseur dyadique unité :

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv \left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)=(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} )}$

L'élément ij du tenseur de Maxwell, ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ est homogène à une quantité de mouvement par unité de surface multipliée par le temps. ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ représente la composante suivant la direction i du flux d'impulsion traversant une surface normale à la direction j (dans le sens négative) par unité de temps.

On peut également dire que ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ est homogène à une force par unité de surface (pression négative), et interprété comme la ième composante de force exercée sur une surface unitaire normale à la direction j. Chaque élément diagonal du tenseur donnent la force de tension qui est appliquée sur un élément de surface orthogonal à la direction considérée. Contrairement à la force de pression agissant dans un gaz parfait, un élément de surface subit une force qui n'est pas nécessairement normale à cette surface. La force de cisaillement correspondante est donnée par les éléments hors de la diagonale du tenseur.

Si le champ électromagnétique est dominé par la composante magnétique (ce qui est largement vérifié dans le cas des machines électriques, par exemple), on peut simplifier l'expression du tenseur qui devient en unités SI :

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Pour un système à symétrie cylindrique, comme le rotor d'un moteur électrique, on peut encore réduire l'expression à :

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

où r est la direction radiale, et t la direction orthoradiale. Seule la composante tangentielle fait tourner le moteur. B_r est la densité de flux magnétique dans la direction radiale, et B_t dans la direction orthoradiale (la densité de flux magnétique est l'autre nom du champ magnétique, quand on doit le distinguer de l'excitation magnétique).

Les valeurs propres du tenseur de Maxwell sont données par:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-{\frac {\epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/\mu _{0}}{2}},~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/\mu _{0}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$